Toán 9 — Đề kiểm tra giữa học kì I 2024–2025 (THCS Hoàng Hoa Thám, Ba Đình)

Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 9 này làm trong 90 phút, gồm 4 bài tự luận với thang điểm 3 + 3 + 3,5 + 0,5. Nội dung đi qua bốn mảng quen thuộc của nửa đầu năm: giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất; giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc bất phương trình; hệ thức lượng trong tam giác vuông kèm chứng minh hình học; và một bài giá trị nhỏ nhất dùng bất đẳng thức Cô-si. Bài tổng hợp dưới đây giúp bạn ôn đúng những chỗ đề hay hỏi và biết cách trình bày để không mất điểm đáng tiếc.

Kiến thức cần nắm

Phương trình và bất phương trình. Phương trình tích: $A\cdot B=0$ khi $A=0$ hoặc $B=0$, nên hãy chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử. Phương trình có ẩn ở mẫu: tìm điều kiện xác định trước, quy đồng khử mẫu, giải xong phải đối chiếu nghiệm với điều kiện. Bất phương trình bậc nhất giải bằng quy tắc chuyển vế; nhân hoặc chia hai vế cho một số âm thì đổi chiều bất đẳng thức.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải bằng phép thế hoặc cộng đại số. Với hệ có ẩn ở mẫu, có thể đặt $u=\dfrac{1}{x}$, $v=\dfrac{1}{y}$ (kèm điều kiện $x\ne0$, $y\ne0$) hoặc nhân một phương trình để cùng hệ số rồi trừ vế.

Giải bài toán bằng cách lập hệ hoặc bất phương trình. Các bước: gọi ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng theo ẩn, lập phương trình hoặc bất phương trình, giải, đối chiếu điều kiện, kết luận. Giảm giá $p\%$ nghĩa là còn $(100-p)\%$ giá niêm yết. Bài hỏi "tối đa bao nhiêu" thường dẫn tới bất phương trình và đáp số phải là số nguyên.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Với góc nhọn: $\sin$ bằng cạnh đối chia cạnh huyền, $\cos$ bằng cạnh kề chia cạnh huyền, $\tan$ bằng cạnh đối chia cạnh kề, và $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Biết một góc nhọn và một cạnh thì giải được cả tam giác. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; hai góc nhọn phụ nhau.

Bất đẳng thức Cô-si. Với $a,b\ge0$ thì $a+b\ge2\sqrt{ab}$, dấu bằng xảy ra khi $a=b$. Dùng để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai biểu thức có tích không đổi.

Các dạng bài trong đề này

• Bài 1 (3 điểm). Bốn ý giải bằng bốn kĩ thuật khác nhau: đưa phương trình về dạng tích, bất phương trình bậc nhất sau khi khai triển hằng đẳng thức, phương trình chứa ẩn ở mẫu, và một hệ phương trình có ẩn ở mẫu.
• Bài 2 (3 điểm). Hai bài toán thực tế: một bài về giảm giá dẫn tới hệ hai phương trình, một bài về tải trọng của xe dẫn tới bất phương trình.
• Bài 3 (3,5 điểm). Dùng tỉ số lượng giác để tính chiều cao từ góc nắng và độ dài bóng; tính các cạnh và đường cao của tam giác vuông khi biết một góc và một cạnh; chứng minh đẳng thức lượng giác; chứng minh vuông góc và một hệ thức tỉ số lượng giác qua nhiều bước (hình chữ nhật, trung tuyến ứng với cạnh huyền).
• Bài 4 (0,5 điểm). Bài toán thực tế về diện tích nhỏ nhất: lập biểu thức theo một biến nhờ tam giác đồng dạng, rồi dùng Cô-si.

Lỗi hay gặp

• Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu mà quên điều kiện xác định, hoặc tìm ra nghiệm nhưng không đối chiếu.
• Nhân hay chia hai vế bất phương trình cho số âm mà không đổi chiều.
• Nhầm giá niêm yết với giá sau khi giảm khi lập phương trình; quên đổi đơn vị (tấn sang ki-lô-gam).
• Làm tròn sai chỗ: đề yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân nào thì chỉ làm tròn ở bước cuối.
• Chứng minh hình học nhảy bước, dùng điều chưa chứng minh, hoặc vẽ hình không đúng giả thiết nên lập luận lệch.
• Dùng Cô-si mà quên nêu điều kiện hai số không âm và khi nào dấu bằng xảy ra.

Chiến lược làm bài 90 phút

• Phân bổ thời gian: đọc toàn đề khoảng 5 phút; Bài 1 khoảng 20 phút; Bài 2 khoảng 25 phút; Bài 3 khoảng 30 phút (vẽ hình đúng giả thiết trước khi làm); Bài 4 và soát lại phần còn lại.
• Trình bày từng bước: hướng dẫn chấm của đề chia điểm theo từng bước nhỏ (thường 0,25 điểm), nên dù ngắn cũng hãy viết đủ các bước. Bài lập hệ cần có đủ: gọi ẩn kèm điều kiện, lập phương trình, giải, đối chiếu, kết luận bằng lời.
• Thử lại kết quả: thay nghiệm vào đề để kiểm; với bài thực tế, kiểm đơn vị và ý nghĩa của kết quả.
• Câu 0,5 điểm cuối: nếu còn ít thời gian, vẫn nên viết bước lập biểu thức diện tích theo một biến để lấy điểm phần đầu.