Toán 9 — Đề kiểm tra giữa học kì I 2024–2025 (THCS Hoàng Hoa Thám, Ba Đình)

Giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình.

a) $(2x-4)(x+3)-x^2=3x$

b) $(x-4)^2-(x+5)(x-5)\le -5x+14$

c) $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{24}{x^2-4}$

d) $\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\\ \dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{y}=-1\end{cases}$

1) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Nhân dịp ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, một nhà sách giảm giá mỗi cây bút bi là 20% và mỗi quyển vở là 10% so với giá niêm yết. Bạn Mai vào nhà sách mua 10 cây bút bi và 20 quyển vở với giá là 172 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi cây bút bi và mỗi quyển vở, biết rằng tổng số tiền phải trả nếu không được giảm giá là 195 000 đồng.

2) Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình.

Người ta dùng một loại xe tải để chở nước ngọt cho một nhà máy. Mỗi thùng nước ngọt 24 lon nặng trung bình 8 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở tối đa bao nhiêu thùng nước ngọt, biết bác tài nặng 82 kg?

1) Hải đăng Trường Sa Lớn nằm trên đảo Trường Sa Lớn – “Thủ phủ” quần đảo Trường Sa. Hỏi chiều cao ngọn Hải Đăng đó cao bao nhiêu? Biết rằng tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh của ngọn hải đăng hợp với mặt đất một góc $35^\circ$ và bóng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài 20,25 m (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

a) Cho $\widehat{B}=60^\circ$, $AC=8\text{ cm}$. Tính độ dài $AB$, $BC$, $AH$.

b) Chứng minh rằng $\sin B\cdot\cos C=\dfrac{HC}{BC}$ và $\sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=1$.

c) Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AH$ cắt $CA$ tại $K$, kẻ $AM$ vuông góc với $BK$ tại $M$. Lấy $I$ là trung điểm của $KC$. Chứng minh $BI\perp MH$ tại $E$ và $\cos^3 K\cdot\sin K=\dfrac{EH}{KC}$.

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí $A$. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc $A$ đến bờ ngang là $5$ m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là $12$ m.