Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 5

Toàn bộ câu hỏi của đề. Đáp án và lời giải hiện sau khi bạn làm bài.

1. 1Một đáp án · Nhận biết

   Viết mệnh đề sau bằng kí hiệu $\forall$ hoặc $\exists$: “Có một số nguyên bằng bình phương của chính nó”.

   A. A

   $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x = 0$

   B. B

   $\exists x \in \mathbb{R},x = {x^2}$

   C. C

   $\forall x \in \mathbb{Z},{x^2} = x$

   D. D

   $\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}">$\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Đọc kĩ mệnh đề và áp dụng quy tắc sử dụng kí hiệu $\forall$ và $\exists$.

   Lời giải chi tiết:

   “Có một số nguyên” tức là tồn tại số nguyên: $\exists x \in \mathbb{Z}$.

   “Số (nguyên) bằng bình phương của chính nó”: $x = {x^2}$.

   Vậy mệnh đề đúng là “$\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}$”.

   Báo lỗi
2. 2Một đáp án · Nhận biết

   Cho tập hợp $A = \{ x \in \mathbb{R}| - 3 \lt x \lt 1\}$. Tập A là tập nào sau đây?

   A. A

   {-3; 1}.

   B. B

   [-3; 1].

   C. C

   [-3; 1).

   D. D

   (-3; 1).

   Đáp án: <p>(-3; 1).</p>

   Phương pháp giải:

   Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng ().

   Lời giải chi tiết:

   $x \in \mathbb{R}$ nên mọi số thực thỏa mãn -3 < x < 1 đều thuộc A. Tập {-3; 1} chỉ có 2 giá trị nên A sai.

   Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng. Trong trường hợp này dùng kí hiệu nửa khoảng ở cả hai đầu mút.

   Vậy A = (-3; 1).

   Báo lỗi
3. 3Một đáp án · Nhận biết

   Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

   A. A

   $3x + 4y - 5 \le 0$

   B. B

   $3x + {y^2} - 5 \le 0$

   C. C

   ${x^2} + y + 3 \le 0$

   D. D

   $2xy - 5 \ge 0$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="3x + 4y - 5 \le 0">$3x + 4y - 5 \le 0$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Quan sát dạng (ẩn, bậc) của bất phương trình.

   Lời giải chi tiết:

   Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

   Báo lỗi
4. 4Một đáp án · Nhận biết

   Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y - 1 \gt 0\\2x + y + 5 \gt 0\\x + y + 1 \lt 0\end{array} \right.$?

   A. A

   (0;0)

   B. B

   (1;0)

   C. C

   (0;-2)

   D. D

   (0;2)

   Đáp án: <p>(0;-2)</p>

   Phương pháp giải:

   Thay tọa độ các điểm vào hệ phương trình, nếu thỏa mãn hệ điểm đó thuộc miền nghiệm.

   Lời giải chi tiết:

   Thay tọa độ các điểm vào hệ, chỉ có điểm (0;-2) thỏa mãn hệ.

   Báo lỗi
5. 5Một đáp án · Nhận biết

   Cho tam giác ABC có $A = {120^o}$ thì đẳng thức nào sau đây đúng?

   A. A

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 3bc$

   B. B

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} + bc$

   C. C

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} + 3bc$

   D. D

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} - bc$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="{a^2} = {b^2} + {c^2} + bc">${a^2} = {b^2} + {c^2} + bc$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Sử dụng định lí Cosin cho tam giác.

   Lời giải chi tiết:

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

   $= {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {120^o}$

   $= {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right)$

   $= {b^2} + {c^2} + bc$.

   Báo lỗi
6. 6Một đáp án · Nhận biết

   Cho tam giác ABC. Tìm công thức đúng trong các công thức sau:

   A. A

   $S = \frac{1}{2}bc\sin A$

   B. B

   $S = \frac{1}{2}ac\sin A$

   C. C

   $S = \frac{1}{2}bc\sin B$

   D. D

   $S = \frac{1}{2}bc\sin C$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="S = \frac{1}{2}bc\sin A">$S = \frac{1}{2}bc\sin A$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

   Lời giải chi tiết:

   $S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

   Báo lỗi
7. 7Một đáp án · Nhận biết

   Cho hình bình hành ABCD. Vecto nào sau đây cùng phương với $\overrightarrow {AB}$?

   A. A

   $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC}$

   B. B

   $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DA}$

   C. C

   $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC}$

   D. D

   $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC}">$\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Các vecto cùng phương có giá song song với nhau.

   Lời giải chi tiết:

   Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

   Khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

   Báo lỗi
8. 8Một đáp án · Thông hiểu

   Biết $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a$. Gọi C là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB}$. Chọn khẳng định đúng.

   A. A

   $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow a$

   B. B

   $\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow a$

   C. C

   $\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a$

   D. D

   $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a">$\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Dựng hình thỏa mãn đẳng thức trên và nhận xét.

   Lời giải chi tiết:

   Vì $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB}$ nên hai vecto trên cùng phương và $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB}$ cùng chiều.

   Khi đó A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B, C.

   Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a$.

   Báo lỗi
9. 9Một đáp án · Nhận biết

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(4;-3) và N(-2;0). Tọa độ của vecto $\overrightarrow {MN}$ là

   A. A

   (2;-3)

   B. B

   (6;-3)

   C. C

   (-6;3)

   D. D

   (-2;3)

   Đáp án: <p>(-6;3)</p>

   Phương pháp giải:

   Công thức tọa độ vecto $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

   Lời giải chi tiết:

   $\overrightarrow {MN} = ( - 2 - 4;0 + 3) = ( - 6;3)$.

   Báo lỗi
10. 10Một đáp án · Thông hiểu

    Cho hai vecto $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$, $\alpha$ là góc tạo vởi hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$. Chọn khẳng định đúng.

    A. A

    $\alpha = {180^o}$

    B. B

    $\alpha = {0^o}$

    C. C

    $\alpha = {90^o}$

    D. D

    $\alpha = {45^o}$

    Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\alpha = {180^o}">$\alpha = {180^o}$</span></p>

    Phương pháp giải:

    Áp dụng công thức tính tích vô hướng: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

    Lời giải chi tiết:

    $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

    $\Rightarrow - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha$

    $\Rightarrow \cos \alpha = - 1$

    $\Rightarrow \alpha = {180^o}$.

    Báo lỗi
11. 11Một đáp án · Nhận biết

    Quy tròn số 12,4567 đến hàng phần trăm ta được

    A. A

    12,45

    B. B

    12,46

    C. C

    12,457

    D. D

    12,5

    Đáp án: <p>12,46</p>

    Phương pháp giải:

    Quy tròn đến hàng phần trăm là quy tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

    Lời giải chi tiết:

    Xét chữ số thập phân thứ ba là 6 > 5 nên số sau khi quy tròn là 12,46.

    Báo lỗi
12. 12Một đáp án · Nhận biết

    Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu sau:

    45, 46, 42, 50, 38, 42, 44, 42, 40, 60

    A. A

    38

    B. B

    20

    C. C

    42

    D. D

    22

    Đáp án: <p>22</p>

    Phương pháp giải:

    Xác định khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất.

    Lời giải chi tiết:

    Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 38. Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 60.

    Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 60 – 38 = 22.

    Báo lỗi
13. 13Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng

    Một trò chơi ô chữ đơn giản mà kết quả gồm một trong hai khả năng: Nếu người chơi chọn được chữ A thì người ấy được cộng 3 điểm, nếu chọn được chữ B thì bị 1 điểm. Người chơi chỉ chiến thắng khi đạt được số điểm tối thiểu là 20. Gọi x, y theo thứ tự là số lần người chơi chọn được chữ A và chữ B.

    a

    Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ A là 2x.

    ĐúngSai

    b

    Tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ B là y.

    ĐúngSai

    c

    Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y trong tình huống người chơi chiến thắng là $3x - y \ge 18$.

    ĐúngSai

    d

    Người chơi chọn được chữ A 8 lần và chọn được chữ B 3 lần thì người đó vừa đủ điểm để chiến thắng trò chơi.

    ĐúngSai

    Đáp án: <p>Tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ B là y.</p>

    Phương pháp giải:

    Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

    Lời giải chi tiết:

    a) Sai. Vì mỗi lần chọn được chữ A thì được cộng 3 điểm nên sau x lần chọn chữ A, người chơi được 3x điểm.

    b) Đúng. Vì mỗi lần chọn được chữ B thì bì trừ 1 điểm nên sau y lần chọn chữ B, người chơi bị trừ y điểm.

    c) Sai. Người chơi cần ít nhất 20 điểm để chiến thắng trò chơi nên $3x - y \ge 20$.

    d) Sai. Thay cặp số (8;3) vào bất phương trình được $3.8 - 1.3 = 21 \gt 20$.

    Vậy người chơi thừa 1 điểm so với điểm tối thiểu để chiến thắng trò chơi.

    Báo lỗi
14. 14Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ với ${0^o} \lt \alpha \lt {90^o}$.

    a

    $\cos \alpha \lt 0$.

    ĐúngSai

    b

    ${\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}$.

    ĐúngSai

    c

    $\cos ({180^o} - \alpha ) = - \frac{1}{3}$.

    ĐúngSai

    d

    Giá trị biểu thức $P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}$.

    ĐúngSai

    Đáp án: <p>Giá trị biểu thức <span data-type="math-inline" data-latex="P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}">$P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác của các góc.

    Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, $\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha$.

    Lời giải chi tiết:

    a) Sai. Có ${0^o} \lt \alpha \lt {90^o}$ suy ra $\cos \alpha \gt 0$.

    b) Sai. ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

    c) Sai. Vì $\cos \alpha \gt 0$ nên $\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

    $\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

    d) Đúng. Ta có: $P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}$.

    Báo lỗi
15. 15Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua G và M là trung điểm của BC.

    a

    $\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD}$.

    ĐúngSai

    b

    $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

    ĐúngSai

    c

    $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BG}$.

    ĐúngSai

    d

    $\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD}">$\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD}$</span>.</p> · <p><span data-type="math-inline" data-latex="\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}">$\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm đối với vecto, quy tắc cộng, trừ hai vecto.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD}$.

    b) Sai. $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

    c) Sai. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BG}$.

    d) Đúng. $\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BG} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} } \right)$

    $= - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

    Báo lỗi
16. 16Đúng/Sai nhiều ý · Nhận biết

    Cho mẫu số liệu thống kê số giờ học thêm của 10 học sinh trong một tuần:

    2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 15.

    a

    Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh trên là 6 giờ.

    ĐúngSai

    b

    Mốt của mẫu số liệu trên bằng 15.

    ĐúngSai

    c

    Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 2.

    ĐúngSai

    d

    Độ lệch chuẩn về số giờ học thêm của 10 học sinh trên là $\sqrt {12}$ giờ.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh trên là 6 giờ.</p> · <p>Độ lệch chuẩn về số giờ học thêm của 10 học sinh trên là <span data-type="math-inline" data-latex="\sqrt {12}">$\sqrt {12}$</span> giờ.</p>

    Phương pháp giải:

    a) Sử dụng công thức tính số trung bình.

    b) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất.

    c) Giá trị ngoại lệ nằm ngoài đoạn $[{Q_1} - 1,5{\Delta _Q};{Q_3} + 1,5{\Delta _Q}]$.

    d) Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh là

    $\overline x = \frac{{2.1 + 3.1 + 4.2 + 5.1 + 6.2 + 7.1 + 8.1 + 15.1}}{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1}} = 6$ (giờ).

    b) Sai. Mốt của mẫu số liệu trên là 4 và 6 vì có tần số lớn nhất (bằng 2).

    c) Sai. Trung vị là ${Q_2} = \frac{{5 + 6}}{2} = 10,5$.

    Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 4$, tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 7$.

    Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7 - 4 = 3$.

    Giá trị ngoại lệ sẽ nhỏ hơn ${Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 4 - 1,5.3 = - 0,5$ và lớn hơn ${Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 7 + 1,5.3 = 11,5$.

    Vậy 15 là giá trị ngoại lệ.

    d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu:

    ${s^2} = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {15 - 6} \right)}^2}} \right] = 12$

    Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $\sqrt {{s^2}} = \sqrt {12}$.

    Báo lỗi