Đề thi giữa học kì 1 Toán 10 - Đề số 1

Toàn bộ câu hỏi của đề. Đáp án và lời giải hiện sau khi bạn làm bài.

1. 1Một đáp án · Nhận biết

   Mô tả tập hợp $A = \{ x \in \mathbb{Z}| - 1 \le x \lt 2\}$ bằng cách liệt kê:

   A. A

   A = {-1; 0; 1; 2}.

   B. B

   A = {0; 1}.

   C. C

   A = {-1; 0; 1; -1}.

   D. D

   A = {-1; 0; 1}.

   Đáp án: <p>A = {-1; 0; 1}.</p>

   Phương pháp giải:

   Liệt kê từng phần tử thỏa mãn.

   Lời giải chi tiết:

   $A = \{ x \in \mathbb{Z}| - 1 \le x \lt 2\} = \{ - 1;0;1\}$.

   Báo lỗi
2. 2Một đáp án · Nhận biết

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, CB = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào sau đây là sai?

   A. A

   $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$

   B. B

   $\sin A = \frac{a}{{2R}}$

   C. C

   $b\sin B = 2R$

   D. D

   $\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="b\sin B = 2R">$b\sin B = 2R$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Sử dụng định lí sin trong tam giác ABC.

   Lời giải chi tiết:

   Theo định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

   Báo lỗi
3. 3Một đáp án · Nhận biết

   Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

   A. A

   $3x + 4y - 5 \le 0$

   B. B

   $3x + {y^2} - 5 \le 0$

   C. C

   ${x^2} + y + 3 \le 0$

   D. D

   $2xy - 5 \ge 0$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="3x + 4y - 5 \le 0">$3x + 4y - 5 \le 0$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Quan sát dạng (ẩn, bậc) của bất phương trình.

   Lời giải chi tiết:

   Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

   Báo lỗi
4. 4Một đáp án · Nhận biết

   Cho tam giác ABC có ba cạnh a = BC, b = AC, c = AB. Khi đó

   A. A

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos \widehat {BAC}$

   B. B

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\sin \widehat {BAC}$

   C. C

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\sin \widehat {BAC}$

   D. D

   ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \widehat {BAC}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \widehat {BAC}">${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \widehat {BAC}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Dựa vào định lí cosin trong tam giác.

   Lời giải chi tiết:

   Cho tam giác ABC có ba cạnh a = BC, b = AC, c = AB. Khi đó ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \widehat {BAC}$.

   Báo lỗi
5. 5Một đáp án · Nhận biết

   Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

   A. A

   $\sin ({90^o} - \alpha ) = - \cos \alpha$

   B. B

   $\sin ({90^o} - \alpha ) = - \sin \alpha$

   C. C

   $\sin ({90^o} - \alpha ) = \cos \alpha$

   D. D

   $\sin ({90^o} - \alpha ) = \sin \alpha$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\sin ({90^o} - \alpha ) = \cos \alpha">$\sin ({90^o} - \alpha ) = \cos \alpha$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau.

   Lời giải chi tiết:

   Với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90^o} - \alpha$, ta có $\sin ({90^o} - \alpha ) = \cos \alpha$.

   Báo lỗi
6. 6Một đáp án · Nhận biết

   Cặp số (-2;3) là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

   A. A

   2x + y + 1 > 0

   B. B

   x + 3y + 1 < 0

   C. C

   2x – y – 1 $\ge$ 0

   D. D

   x + y + 1 > 0

   Đáp án: <p>x + y + 1 &gt; 0</p>

   Phương pháp giải:

   Thay cặp số vào từng bất phương trình, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của bất phương trình đó.

   Lời giải chi tiết:

   Xét A: 2.(-2) + 3 + 1 > 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của 2x + y + 1 > 0.

   Xét B: -2 + 3.3 + 1 < 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của x + 3y + 1 < 0.

   Xét C: 2.(-2) – 3 – 1 $\ge$ 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của 2x – y – 1 $\ge$ 0.

   Xét D: -2 + 3 + 1 > 0 đúng nên (-2;3) là nghiệm của x + y + 1 > 0.

   Báo lỗi
7. 7Một đáp án · Nhận biết

   Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \lt 0$” là mệnh đề

   A. A

   “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0$”

   B. B

   “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \lt 0$”

   C. C

   “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \gt 0$”

   D. D

   “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0$”

   Đáp án: <p>“<span data-type="math-inline" data-latex="\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0">$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0$</span>”</p>

   Phương pháp giải:

   Phủ định của “$\forall$” là “$\exists$”.

   Phủ định của “$\lt$” là “$\ge$”.

   Lời giải chi tiết:

   Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0$”.

   Báo lỗi
8. 8Một đáp án · Thông hiểu

   Nửa mặt phẳng không tô đậm (bao gồm cả đường thẳng $d$) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

   

   A. A

   $2x + y \geq 2$.

   B. B

   $x + 2y \geq 2$.

   C. C

   $2x + y \leq 2$.

   D. D

   $x + 2y \leq 2$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="x + 2y \leq 2">$x + 2y \leq 2$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Lập phương trình đường thẳng bờ của miền nghiệm dựa vào các điểm thuộc đường thẳng.

   Vì điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm nên ta suy ra chiều của bất phương trình.

   Lời giải chi tiết:

   Giả sử đường thẳng bờ của miền nghiệm có dạng y = ax + b.

   Đường thẳng đi qua điểm (2;0) và (0;1) nên ta có:

   $\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\1 = 0a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x + 1 \Leftrightarrow x + 2y = 2$.

   Do đó ta loại đáp án A, C.

   Vì O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên:

   $0 + 2.0 = 0 \le 2$.

   Vậy bất phương trình là $x + 2y \le 2$.

   Báo lỗi
9. 9Một đáp án · Nhận biết

   Có bao nhiêu phát biểu dưới đây là mệnh đề?

   1) “17 là số nguyên tố”.

   2) “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền".
   3) "Các em hãy cố gắng học tập thật tốt nhé"!
   4) "Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn".

   A. A

   4

   B. B

   3

   C. C

   2

   D. D

   1

   Đáp án: <p>3</p>

   Phương pháp giải:

   Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

   Lời giải chi tiết:

   Chỉ có câu 3) không phải mệnh đề.

   Báo lỗi
10. 10Một đáp án · Thông hiểu

    Tâp hợp $\left[ {0;4} \right] \cap \left[ {3;5} \right]$ là

    A. A

    $\emptyset$

    B. B

    $\left[ {0;5} \right]$

    C. C

    $\left[ {3;4} \right]$

    D. D

    $\left\{ {3;4} \right\}$

    Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\left[ {3;4} \right]">$\left[ {3;4} \right]$</span></p>

    Phương pháp giải:

    Giao hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp.

    Lời giải chi tiết:

    Tập $\left[ {0;4} \right]$:

    Tập $\left[ {0;4} \right] \cap \left[ {3;5} \right]$:

    Vậy $\left[ {0;4} \right] \cap \left[ {3;5} \right] = \left[ {3;4} \right]$.

    Báo lỗi
11. 11Một đáp án · Nhận biết

    Cho tập hợp $A = \{ 1;2;3;4\}$. Tập hợp nào sau đây là tập con của A?

    A. A

    $\{ 1;3\}$

    B. B

    $\{ 2;5\}$

    C. C

    $\{ 0;3\}$

    D. D

    $\{ 0;1;2\}$

    Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\{ 1;3\}">$\{ 1;3\}$</span></p>

    Phương pháp giải:

    Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B.

    Lời giải chi tiết:

    Ta có:

    $\{ 1;3\} \subset \{ 1;2;3;4\} = A$. Chọn A.

    $\{ 2;5\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại B.

    $\{ 0;3\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại C.

    $\{ 0;1;2\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại D.

    Báo lỗi
12. 12Một đáp án · Nhận biết

    Cho mệnh đề chứa biến P(x): $x + 2 \gt {x^2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    A. A

    P(3)

    B. B

    P(-1)

    C. C

    P(1)

    D. D

    P(5)

    Đáp án: <p>P(1)</p>

    Phương pháp giải:

    Xét từng mệnh đề.

    Lời giải chi tiết:

    Ta có:

    P(3): $3 + 2 \gt {3^2}$ là mệnh đề sai. Loại A.

    P(-1): $- 1 + 2 \gt {( - 1)^2}$ là mệnh đề sai. Loại B.

    P(1): $1 + 2 \gt {1^2}$ là mệnh đề đúng. Chọn C.

    P(3): $5 + 2 \gt {5^2}$ là mệnh đề sai. Loại D.

    Báo lỗi
13. 13Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y \leq 0} \\ {5x - y \geq - 4} \\ {x + 2y \leq 5} \end{array} \right.$ và biểu thức $F = 3x + 5y$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a

    Điểm $B\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{4}} \right)$ là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thỏa mãn $F = 3x + 5y$đạt giá trị lớn nhất.

    ĐúngSai

    b

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y \leq 0} \\ {5x - y \geq - 4} \\ {x + 2y \leq 5} \end{array} \right.$ là miền tam giác.

    ĐúngSai

    c

    Miền nghiệm của bất phương trình $5x - y \geq - 4$ là nửa mặt phẳng bờ là $d:5x - y = - 4$và chứa gốc tọa độ O, kể cả bờ.

    ĐúngSai

    d

    Điểm $M\left( {1;2024} \right)$ thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>Điểm <span data-type="math-inline" data-latex="B\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{4}} \right)">$B\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{4}} \right)$</span> là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thỏa mãn <span data-type="math-inline" data-latex="F = 3x + 5y">$F = 3x + 5y$</span>đạt giá trị lớn nhất.</p> · <p>Miền nghiệm của hệ bất phương trình <span data-type="math-inline" data-latex="\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y \leq 0} \\ {5x - y \geq - 4} \\ {x + 2y \leq 5} \end{array} \right.">$\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y \leq 0} \\ {5x - y \geq - 4} \\ {x + 2y \leq 5} \end{array} \right.$</span> là miền tam giác.</p> · <p>Miền nghiệm của bất phương trình <span data-type="math-inline" data-latex="5x - y \geq - 4">$5x - y \geq - 4$</span> là nửa mặt phẳng bờ là <span data-type="math-inline" data-latex="d:5x - y = - 4">$d:5x - y = - 4$</span>và chứa gốc tọa độ O, kể cả bờ.</p>

    Phương pháp giải:

    Áp dụng quy tắc tính xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với $A\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right)$, $B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right)$, $C\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right)$.

    $F\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right) = 3\left( { - \frac{3}{{11}}} \right) + 5.\frac{{29}}{{11}} = \frac{{136}}{{11}}$;

    $F\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right) = 3\left( { - \frac{8}{9}} \right) + 5.\left( { - \frac{4}{9}} \right) = - \frac{{44}}{9}$;

    $F\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right) = 3.\frac{5}{2} + 5.\frac{5}{4} = \frac{{55}}{4}$.

    Ta có $F\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right) = \frac{{55}}{4}$ lớn nhất trong các giá trị trên, do đó điểm $B\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{4}} \right)$ là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thỏa mãn $F = 3x + 5y$đạt giá trị lớn nhất.

    b) Đúng. Miền nghiệm của hệ là miền tam giác giới hạn bởi ba đường thẳng $x - 2y = 0$, $5x - y = - 4$, $x + 2y = 5$.

    c) Đúng. Ta có $5.0 - 0 = 0 \ge - 4$ nên O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

    Vậy miền nghiệm của bất phương trình $5x - y \geq - 4$ là nửa mặt phẳng bờ là $d:5x - y = - 4$và chứa gốc tọa độ O, kể cả bờ.

    d) Sai. Vì $1 + 2.2024 \gt 5$ nên tọa độ điểm M không thỏa mãn phương trình thứ ba của hệ. Do đó điểm M không thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

    Báo lỗi
14. 14Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho tam giác $ABC$ có $BC = 12\text{cm}$, góc $\widehat{B} = 15{^\circ}$, $\widehat{C} = 30{^\circ}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a

    $AB = 6\sqrt{2}$.

    ĐúngSai

    b

    Độ dài đường cao $AH = \dfrac{23}{11}$.

    ĐúngSai

    c

    Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $2,6$.

    ĐúngSai

    d

    $R = \dfrac{a}{\sin A}$.

    ĐúngSai

    Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="AB = 6\sqrt{2}">$AB = 6\sqrt{2}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    Áp dụng định lí cosin, các công thức tính diện tích tam giác.

    Lời giải chi tiết:

    $\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {15^o} - {30^o} = {135^o}$.

    a) Đúng. $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{12.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{135}^o}}} = 6\sqrt 2$.

    b) Sai. $S = \frac{1}{2}AB.BC\sin B = \frac{1}{2}AH.BC$

    $\Leftrightarrow AB\sin B = AH \Leftrightarrow AH = 6\sqrt 2 .\sin {15^o} = - 3 + 3\sqrt 3$.

    c) Sai. $S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\left( { - 3 + 3\sqrt 3 } \right).12 = - 18 + 18\sqrt 3$.

    $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow AC = \frac{{BC.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{12.\sin {{15}^o}}}{{\sin {{135}^o}}} = - 6 + 6\sqrt 3$.

    $p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{6\sqrt 2 + 12 + \left( { - 6 + 6\sqrt 3 } \right)}}{2} = 3\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)$.

    $r = \frac{S}{p} = \frac{{ - 18 + 18\sqrt 3 }}{{3\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}} \approx 1,1$.

    d) Sai. $2R = \frac{a}{{\sin A}}$.

    Báo lỗi
15. 15Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là ${35^o}$ (đơn vị: $c{m^2}$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
16. 16Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu đề bảo đảm lượng dinh dưỡng hàng ngày thì mỗi gia đình có 4 thành viên cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit, 1 kg thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng người nội trợ chỉ được chi tối đa 200 nghìn đồng để mua thịt. Biết rằng 1 kg thịt bò giá 200 nghìn đồng, 1 kg thịt heo giá 100 nghìn đồng. Người nội trợ nên mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt heo để chi thấp nhất cho khẩu phần thức ăn mà vẫn đảm bảo chất dinh dưỡng, khi đó hãy tìm x + 2y.

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
17. 17Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB = 70$ m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{{^\circ}}$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{{^\circ}}30'$. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
18. 18Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Cho số thực $m \lt 0$ và hai tập hợp $A = ( - \infty;4m),B = \left( {\dfrac{25}{m}; + \infty} \right)$. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
19. 19Tự luận · Vận dụng

    Trong $45$ học sinh của lớp $10A$ có $15$ bạn được xếp loại học lực giỏi, $20$ bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có $10$ bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi:

    a) Lớp $10A$ có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt?

    b) Lớp $10A$ có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

    0 từ
    Báo lỗi
20. 20Tự luận · Nhận biết

    Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \gt 0\\x + 3y \lt 3\end{array} \right.$.

    0 từ
    Báo lỗi
21. 21Tự luận · Nhận biết

    Cho góc x với $\cos x = - \frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $S = 4{\sin ^2}x + 8{\tan ^2}x$.

    0 từ
    Báo lỗi