Cách tăng hoặc giảm độ khó của một câu hỏi mà không đánh đố

Từ một câu gốc của đề Toán THPT 2026, làm cặp bản giảm và bản tăng bằng bốn núm vặn, kèm ba câu hỏi kiểm tra để không biến câu thành đánh đố.

Quản trị viên

07 tháng 10, 2026· 6 phút đọc

Chia sẻ

Làm cho câu khó hơn thì dễ thôi, đổi số cho xấu là xong. Có điều như thế là làm khổ học sinh chứ không phải làm khó. Từ một câu gốc, muốn ra hai bản, một dễ hơn cho nhóm đang chật vật, một khó hơn cho nhóm làm quá nhanh, thì làm sao cho tử tế?

Nói trước cho nhanh

Độ khó chính đáng đến từ chỗ phải suy luận, không đến từ chỗ che dữ kiện hay số liệu xấu. Cách làm chúng tôi đề xuất: gọi tên chỗ khó của câu gốc, chọn một "núm vặn" (bước ẩn, dạng dữ liệu, số bước, khoảng cách tới ngưỡng), vặn lên hoặc xuống, giữ nguyên mục tiêu, rồi cho qua ba câu hỏi kiểm tra "có đánh đố không". Khung này là đề xuất của chúng tôi, không phải chuẩn của cơ quan nào.

Cách làm, từng bước một

Bước 1. Trước hết, gọi tên chỗ khó của câu gốc. Viết hai dòng thôi: bước nào của lời giải không có trong đề, và lời giải khoảng mấy bước. Lấy câu II.1 của đề (AI sàng lọc bệnh): bước đề không nói ra là dựng bảng hai chiều từ lời kể, và theo ước lượng của chúng tôi câu có khoảng 5 bước.

Bước 2. Rồi chọn đúng một núm. Có bốn núm, chúng tôi rút ra từ cách đề 2026 phân bố độ khó:

Bước ẩn: đề nói ra, hay để học sinh tự dựng. Ở III.2 và III.4, bước ẩn nằm ngoài lời đề; theo phân loại của chúng tôi hai câu này là VDC và VD.
Dạng dữ liệu: cho sẵn bảng, hay kể bằng lời, bằng tỉ lệ. III.5 cho bảng số liệu cần lập hệ; II.1 thì kể bằng lời.
Số bước: một câu phần II có thể cho bốn ý với độ sâu khác nhau, như II.4: ý a) 1 bước, ý c), d) 5–6 bước.
Khoảng cách tới ngưỡng: II.3 c) có giá trị đúng 20,7 so với mốc 20,6; II.1 d) có 0,967 so với 0,95. Ngưỡng càng sát thì càng đòi tính chính xác.

Bước 3. Vặn một núm, giữ nguyên mục tiêu. Mục tiêu của II.1 là phân biệt hai chiều của xác suất có điều kiện. Bản giảm hay bản tăng thì cũng phải còn đo đúng điều đó.

Bước 4. Cho qua ba câu hỏi "có đánh đố không" (đề xuất của chúng tôi). Một: mọi dữ kiện cần để giải đã có trong đề chưa? Hai: chỗ khó mới thêm có thuộc mục tiêu không, hay là một kiến thức khác chen vào? Ba: số liệu có đủ gọn để người giỏi kiểm lại bằng tay không? Trượt một trong ba là câu đang đánh đố.

Bước 5. Cuối cùng, tự giải và đếm lại số bước. Bản giảm nên ít hơn bản gốc khoảng một đến hai bước; bản tăng nhiều hơn một bước, đừng tới ba.

Làm thử: cặp bản giảm và bản tăng từ câu II.1

Câu gốc (đề): 10 000 người; 1000 cảnh báo (700 có bệnh, 300 không); 9000 không cảnh báo (100 có bệnh, 8900 không). Bốn mệnh đề về xác suất. Chỗ khó: dựng bảng ngầm, phân biệt hai chiều điều kiện.

Bản giảm: vặn núm "dạng dữ liệu". Đưa bảng ra sẵn.

	Có bệnh	Không bệnh
Cảnh báo	700	300
Không cảnh báo	100	8900

a) Xác suất người được chọn nhận cảnh báo là 0,1. Đúng. b) Trong những người nhận cảnh báo, xác suất có bệnh là 0,7. Đúng. c) Trong những người có bệnh, 70% nhận cảnh báo. Sai, vì tổng số người có bệnh là 800, tỉ lệ là $700/800=0{,}875$ . d) Xác suất người được chọn không có bệnh là 0,92. Đúng.

Bước "dựng bảng" bỏ đi rồi, nhưng cái bẫy chiều điều kiện vẫn còn nguyên (ý b so với ý c, cùng tử 700, mẫu 1000 và 800). Mục tiêu không mất.

Bản tăng: vặn cũng núm ấy, nhưng theo chiều ngược lại. Thay vì bảng số người thì cho tỉ lệ, và cái bước dựng bảng quay trở lại. Cụ thể: trong 10 000 người, 2% có bệnh; 90% người có bệnh nhận cảnh báo; 5% người không bệnh cũng nhận cảnh báo.

a) Có 200 người có bệnh. Đúng. b) Có 670 người nhận cảnh báo. Đúng: $180+490$ . c) Trong những người nhận cảnh báo, hơn một nửa có bệnh. Sai: $180/670\approx0{,}269$ . d) Xác suất không có bệnh, biết không nhận cảnh báo, lớn hơn 0,99. Đúng: $9310/9330\approx0{,}9979$ .

Học sinh phải tự biến tỉ lệ thành số người trên mốc 10 000. Mà nếu chỉ liếc "90%" thì dễ chọn Đúng ở c). Đây là chỗ nghĩ sai hay gặp: nhầm "90% người bệnh được cảnh báo" với "90% người được cảnh báo là có bệnh", đúng cái bẫy chiều điều kiện của câu gốc.

Kiểm "đánh đố" cho bản tăng. Đủ dữ kiện: có cả ba tỉ lệ và cỡ mẫu. Chỗ khó thêm vẫn là xác suất có điều kiện. Mọi con số đều nguyên trên 10 000, kiểm tay được. Cả ba qua. Còn nếu thay 5% bằng 4,7% thì câu thứ ba trượt, và đó là loại khó chúng tôi khuyên tránh.

Mấy chỗ hay vấp

Vặn hai núm một lúc. Vừa đổi dạng dữ liệu vừa đổi ngưỡng, rồi học sinh sai thì không biết sai vì đâu.
Tăng khó bằng số xấu. Chia lẻ, làm tròn rắc rối thì khó thật, nhưng chẳng đo thêm được điều gì.
Giảm khó mà bỏ luôn mục tiêu. Bản giảm không còn chỗ để phân biệt hai chiều thì nó đã thành câu khác.
Tăng khó bằng cách giấu dữ kiện. Học sinh sai vì thiếu dữ kiện chứ không phải vì suy luận.

Tự làm thử

Gửi 200 triệu đồng với lãi suất 6%/năm, lãi nhập vào gốc mỗi năm. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền vượt 300 triệu đồng?

Đáp án: 7 năm. $200\cdot1{,}06^n>300\iff1{,}06^n>1{,}5$ . Ta có $1{,}06^6\approx1{,}4185<1{,}5$ và $1{,}06^7\approx1{,}5036>1{,}5$ .

Phần của thầy cô: viết một bản giảm (gợi ý: bỏ bước ẩn "lập bất phương trình mũ", cho sẵn $1{,}06^n>1{,}5$ , đáp án vẫn là 7) và một bản tăng bằng cách vặn đúng một núm, rồi cho cả hai qua ba câu hỏi kiểm tra.