Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 4

Toàn bộ câu hỏi của đề. Đáp án và lời giải hiện sau khi bạn làm bài.

1. 1Một đáp án · Nhận biết

   Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}$ là:

   A. A

   $x = \pm \dfrac{\pi}{4} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}$.

   B. B

   $x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}$.

   C. C

   $x = \pm \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}$.

   D. D

   $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}">$x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   $\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - a + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

   Lời giải chi tiết:

   $\cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

   Báo lỗi
2. 2Một đáp án · Nhận biết

   Cho đồ thị hàm số $y = \text{sin}x$ như hình vẽ sau:

   Mệnh đề nào sau đây đúng?

   

   A. A

   Hàm số $y = \text{sin}x$ đồng biến trên$\left( {\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}} \right)$.

   B. B

   Hàm số $y = \text{sin}x$ đồng biến trên$\left( {\dfrac{- 3\pi}{2}; - \pi} \right)$.

   C. C

   Hàm số $y = \text{sin}x$ nghịch biến trên$\left( {\dfrac{- \pi}{2};\dfrac{\pi}{2}} \right)$.

   D. D

   Hàm số $y = \text{sin}x$ đồng biến trên$\left( {- \dfrac{\pi}{2};0} \right)$.

   Đáp án: <p>Hàm số <span data-type="math-inline" data-latex="y = \text{sin}x">$y = \text{sin}x$</span> đồng biến trên<span data-type="math-inline" data-latex="\left( {- \dfrac{\pi}{2};0} \right)">$\left( {- \dfrac{\pi}{2};0} \right)$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số $y = \text{sin}x$ đồng biến trên$\left( {- \dfrac{\pi}{2};0} \right)$.

   Báo lỗi
3. 3Một đáp án · Nhận biết

   Cấp số cộng -5; -2; 1; 4;... có công sai là

   A. A

   8.

   B. B

   3.

   C. C

   -3.

   D. D

   -5.

   Đáp án: <p>3.</p>

   Phương pháp giải:

   Tính $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$.

   Lời giải chi tiết:

   Ta có d = 4 - 1 = 1 - (-2) = -2 - (-5) = 3. Vậy công sai bằng 3.

   Báo lỗi
4. 4Một đáp án · Thông hiểu

   Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối ${u_6}$ của cấp số nhân đã cho.

   A. A

   32

   B. B

   104

   C. C

   48

   D. D

   96

   Đáp án: <p>96</p>

   Phương pháp giải:

   Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ công bội $q \ne 1$.

   Khi đó tổng ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

   Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 .q^{n-1}$.

   Lời giải chi tiết:

   $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = 2}\\{{S_6} = 189 = {u_1}.\frac{{1 - {q^6}}}{{1 - q}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.$

   ${u_6} = {u_1}{q^5} = {3.2^5} = 96$.

   Báo lỗi
5. 5Một đáp án · Thông hiểu

   Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{2^n} + 1}}{{{3^n}}}$ bằng

   A. A

   2

   B. B

   1

   C. C

   -1

   D. D

   0

   Đáp án: <p>0</p>

   Phương pháp giải:

   Chia cả tử và mẫu cho ${3^n}$.

   Lời giải chi tiết:

   $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{2^n} + 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{1} = 0$.

   Báo lỗi
6. 6Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số $f(x)$ xác định trên ${\mathbb{R}},$ liên tục tại $x = 1$ và thỏa mãn $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x) = 5.$ Khi đó $f(1)$ bằng bao nhiêu?

   A. A

   $f(1) = - 5$.

   B. B

   $f(1) = 1$.

   C. C

   $f(1) = - 1$.

   D. D

   $f(1) = 5$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="f(1) = 5">$f(1) = 5$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Hàm số f(x) liên tục tại ${x_0}$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = a$ và $f({x_0}) = a$.

   Lời giải chi tiết:

   Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 5$ và hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên f(1) = 5.

   Báo lỗi
7. 7Một đáp án · Nhận biết

   Khảo sát thời gian truy cập mạng internet trong ngày của một số học sinh lớp 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

   Số học sinh truy cập mạng trong ngày ít hơn 90 phút trong mẫu số liệu ghép nhóm trên là

   

   A. A

   38.

   B. B

   20.

   C. C

   7.

   D. D

   18.

   Đáp án: <p>38.</p>

   Phương pháp giải:

   Đọc bảng số liệu.

   Lời giải chi tiết:

   Số học sinh truy cập mạng trong ngày ít hơn 90 phút trong mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

   5 + 13 + 20 = 38.

   Báo lỗi
8. 8Một đáp án · Thông hiểu

   Cân nặng (kg) của 50 quả mít trong đợt thu hoạch của một trang trại được thống kê trong bảng dưới đây:

   Khối lượng trung bình của 50 quả mít trên bằng

   

   A. A

   8,72 kg

   B. B

   9,12 kg

   C. C

   8,82 kg

   D. D

   8,52 kg

   Đáp án: <p>8,72 kg</p>

   Phương pháp giải:

   Tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

   Lời giải chi tiết:

   Số trung bình của mẫu số liệu là:

   $\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{6 + 12 + 19 + 9 + 4}} = 8,72$.

   Báo lỗi
9. 9Một đáp án · Nhận biết

   Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow 3}f(x) = 2$ thì $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\left\lbrack {4x - 3f(x)} \right\rbrack$ bằng

   A. A

   $2$.

   B. B

   $- 1$.

   C. C

   $3$.

   D. D

   $6$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="6">$6$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Áp dụng các tính chất của giới hạn hàm số.

   Lời giải chi tiết:

   $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {4x - 3f(x)} \right] = \mathop {4\lim }\limits_{x \to 3} x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 4.3 - 3.2 = 6$.

   Báo lỗi
10. 10Một đáp án · Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. Giao điểm của BC với mặt phẳng (ADM) là:

    A. A

    Giao điểm của BC và DM.

    B. B

    Giao điểm của BC và AM.

    C. C

    Giao điểm của BC và AD.

    D. D

    Giao điểm của BC và SD.

    Đáp án: <p>Giao điểm của BC và AD.</p>

    Phương pháp giải:

    Tìm điểm cùng thuộc đường thẳng và mặt phẳng.

    Lời giải chi tiết:

    Gọi E là giao điểm của AD và BC.

    Vì E thuộc AD nên E thuộc (AMD), mà E thuộc BC, do đó E là giao điểm của BC và (AMD).

    Báo lỗi
11. 11Một đáp án · Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng MN song song với đường thẳng nào dưới đây?

    A. A

    BC.

    B. B

    BD.

    C. C

    AB.

    D. D

    AC.

    Đáp án: <p>AC.</p>

    Phương pháp giải:

    Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.

    Lời giải chi tiết:

    Vì MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN // AC.

    Báo lỗi
12. 12Một đáp án · Nhận biết

    Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    A. A

    Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).

    B. B

    Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P).

    C. C

    Qua A không có mặt phẳng nào song song với (P).

    D. D

    Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P).

    Đáp án: <p>Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).</p>

    Phương pháp giải:

    Dựa vào lí thuyết hai mặt phẳng song song.

    Lời giải chi tiết:

    Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

    Báo lỗi
13. 13Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}\\1\end{array}} \right.$ $\begin{array}{llllllllllllllllllll}{khi}\\{khi}\end{array}$ $\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne 2}\\{x = 2}\end{array}$.

    a

    Giá trị của $f(2)$ bằng 1.

    ĐúngSai

    b

    Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$ bằng -1.

    ĐúngSai

    c

    Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.

    ĐúngSai

    d

    Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}}$ bằng 1.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>Giá trị của <span data-type="math-inline" data-latex="f(2)">$f(2)$</span> bằng 1.</p> · <p>Hàm số đã cho liên tục trên <span data-type="math-inline" data-latex="\mathbb{R}">$\mathbb{R}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    Tính biểu thức $f(x)$ tại $x = 2$.

    Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$, xét tính liên tục của hàm số.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Khi $x = 2$ thì $f(x) = 1$. Do đó $f(2) = 1$.

    b) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}$

    $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x - 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

    c) Đúng. Ta có:

    $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1}\\{f(2) = 1}\end{array}} \right.$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1$.

    Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

    d) Sai. Khi $x \ne 2$ thì $f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = x - 1$ nên ta có:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {x(x - 1) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}$

    $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = {\rm{\;}} - 1$.

    Báo lỗi
14. 14Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB\,\text{//}\, CD$ và $AB = 2CD$, O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $SB$.

    a

    $AB\,\text{//}\, MC$.

    ĐúngSai

    b

    Tứ giác CDMN là hình thang cân.

    ĐúngSai

    c

    E là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SBC, khi đó OG song song với DE.

    ĐúngSai

    d

    Giao tuyến của (CDE) và (SAC) là đường thẳng EO.

    ĐúngSai

    Đáp án: <p>E là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SBC, khi đó OG song song với DE.</p>

    Phương pháp giải:

    Áp dụng tính chất của hình thang, đường trung bình, định lí Thales để chứng minh hai đường thẳng song song.

    Lời giải chi tiết:

    a) Sai. AB không song song với MC.

    b) Sai. MN // AB và $MN = \frac{1}{2}AB$ theo tính chất đường trung bình trong tam giác.

    Mà DC // AB và $DC = \frac{1}{2}AB$ theo giả thiết.

    Do đó MN // DC và MN = DC. Suy ra CDMN là hình bình hành.

    c) Đúng. Vì G là trọng tâm tam giác SBC nên $\frac{{BG}}{{GE}} = 2$.

    Theo định lí Thales, vì DC // AB nên $\frac{{BD}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{DC}} = 2$.

    Vì $\frac{{BG}}{{GE}} = \frac{{BD}}{{OD}} = 2$ nên theo định lí Thales đảo, suy ra OG // DE.

    d) Sai. Vì O không thuộc (CDE) nên EO không phải giao tuyến của (CDE) và (SAC).

    Báo lỗi
15. 15Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
16. 16Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
17. 17Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một cơ sở sản xuất bếp gas, tính chi phí sản xuất x (sản phẩm) xác định bởi hàm số: C(x) = 200 + 120x (ngàn đồng). Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng bao nhiêu ngàn đồng nếu sản xuất số lượng lớn (xem như $t \to +\infty$)?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
18. 18Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Khảo sát số lần sử dụng Facebook của một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được thống kê trong bảng sau:

    Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
19. 19Tự luận · Vận dụng

    Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ $n$.

    a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$.

    b) Tính giới hạn của dãy số $(h_n)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_n)$.

    0 từ
    Báo lỗi
20. 20Tự luận · Nhận biết

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

    a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

    b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho $AM = \frac{1}{3}AF,$ $AN = \frac{1}{3}AD$. Chứng minh MN//(DCEF).

    0 từ
    Báo lỗi
21. 21Tự luận · Nhận biết

    Trong đại dịch Covid-19, một doanh nghiệp muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm $25\%$ hộ gia đình có thu nhập thấp nhất ở một địa phương. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các hộ gia đình ở địa phương này được cho trong bảng sau:

    Dựa trên mẫu số liệu trên, hãy xác định hộ gia đình có thu nhập dưới bao nhiêu sẽ nhận được hỗ trợ của doanh nghiệp đó?

    

    0 từ
    Báo lỗi