Toán — THPT Quốc gia 2017 (mã đề 103)

Cho hàm số $y = (x-2)(x^2+1)$ có đồ thị $(C)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): x + y + z - 6 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc $(\alpha)$?

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2 + 1$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm nghiệm của phương trình $\log_{25}(x+1)=\frac{1}{2}$.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): (x-5)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9$. Tính bán kính $R$ của $(S)$.

Cho hai số phức $z_1 = 1 - 3i$ và $z_2 = -2 - 5i$. Tìm phần ảo $b$ của số phức $z = z_1 - z_2$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x$.

Cho số phức $z = 2 - 3i$. Tìm phần thực $a$ của $z$.

Cho $a$ là số thực dương khác $2$. Tính $I = \log_2 \left( \frac{a^2}{4} \right)$.

Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_3(2x+1) - \log_3(x-1) = 1$.

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông tại $C$, $AB$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$, $AB = 5a$, $BC = 3a$ và $CD = 4a$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \frac{3}{2}$. Tìm $F(x)$.

Tìm tất cả các giá trị thực $x, y$ sao cho $x^2 - 1 + yi = -1 + 2i$.

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x^4 - x^2 + 13$ trên đoạn $[-2; 3]$.

Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 4$, $AB = 6$, $BC = 10$ và $CA = 8$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 - z + 6 = 0$. Tính $P = \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2}$.

Cho $\int_0^1 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = a \ln 2 + b \ln 3$ với $a, b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; -3)$, $B(-1; 4; 1)$ và đường thẳng $d: \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+3}{2}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và song song với $d$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(3; -1; -2)$ và mặt phẳng $(\alpha): 3x - y + 2z + 4 = 0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(\alpha)$

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hàm số $y = a^x$, $y = b^x$ với $a, b$ là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là $(C_1)$ và $(C_2)$ như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ với $a, b, c, d$ là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $50\pi$ và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính $r$ của đường tròn đáy.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\vec{a} = (2; 1; 0)$ và $\vec{b} = (-1; 0; -2)$. Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?

Cho $\log_3 a = 2$ và $\log_2 b = \dfrac{1}{2}$. Tính $I = 2 \log_3 [\log_3 (3a)] + \log_{\frac{1}{4}} b^2$.

Rút gọn biểu thức $Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[3]{b}$ với $b > 0$.

Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \log{(x^2 - 2x - m + 1)}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P): 2x - 2y - z - 4 = 0$. Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $(P)$ tại điểm $H$. Tìm tọa độ điểm $H$.

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d: \begin{cases} y = -3 + t \\ z = 4 - 2t \end{cases}$ và $d': \frac{x-4}{3} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-2}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa $d$ và $d'$ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó?

Cho $F(x) = -\frac{1}{3x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x) \ln x$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z+3|=5$ và $|z-2i|=|z-2-2i|$. Tính $|z|$.

Đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 5$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Tính diện tích $S$ của tam giác $OAB$ với $O$ là gốc tọa độ.

Trong không gian cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = a$ và $\widehat{ACB} = 30^\circ$. Tính thể tích $V$ của khối nón nhận được khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$.

Một vật chuyển động theo quy luật $s = -\frac{1}{2}t^3 + 6t^2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\log_2^2 x - 2\log_2 x + 3m - 2 < 0$ có nghiệm thực.

Với mọi số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = 8ab$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xét khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $SA$ vuông góc với đáy, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $3$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$. Tính $\cos \alpha$ khi thể tích khối chóp $S.ABC$ nhỏ nhất.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y = x^4 - 2mx^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

Cho hàm số $y = f(x)$. Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình bên. Đặt $g(x) = 2f(x) + x^2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình nón $(N)$ có đường sinh tạo với đáy một góc $60^\circ$. Mặt phẳng qua trục của $(N)$ cắt $(N)$ được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $1$. Tính thể tích $V$ của khối nón giới hạn bởi $(N)$.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z + 3i| = \sqrt{13}$ và $\frac{z}{z+2}$ là số thuần ảo?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; -2; 6)$, $B(0; 1; 0)$ và mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 25$. Mặt phẳng $(P): ax + by + cz - 2 = 0$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T = a + b + c$.

Xét hàm số $f(t) = \frac{9t}{9t + m^2}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $f(x) + f(y) = 1$ với mọi số thực $x, y$ thỏa mãn $e^{x+y} \leq e(x+y)$. Tìm số phần tử của $S$.