Toán 9 — Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 2 năm học 2026–2027 (THCS Cầu Giấy, Hà Nội)

a) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{ab+3}{c^2+3}+\dfrac{bc+3}{a^2+3}+\dfrac{ca+3}{b^2+3}$.

b) Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

a) Cho hai số nguyên $m,n$ với $(m,n)=1$ thỏa mãn $m^2+n^2$ chia hết cho $5$. Chứng minh rằng trong hai số $m+2n$, $2m+n$ có đúng một số chia hết cho $5$.

b) Số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn hảo nếu tổng tất cả các ước dương của nó bằng $2n$. Tìm tất cả các số hoàn hảo $n$ thỏa mãn $n^2+5$ là số nguyên tố.

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Với mỗi số thực $k$, xét biểu thức $P_k=a+b+c+kabc$.

a) Với $k=1$, chứng minh rằng tồn tại các số thực $a,b,c$ sao cho $P_1<2$.

b) Với $k\ge\dfrac{5}{3}$, chứng minh rằng $P_k\ge 2$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$. Điểm $T$ thỏa mãn $TB\perp AB,\ TC\perp AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là điểm đối xứng của $T$ qua $M$. Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh rằng $DA\cdot DH=DB\cdot DC$.

b) Đường thẳng đối xứng với $AH$ qua $AB$ cắt $TB$ tại $X$, đường thẳng đối xứng với $AH$ qua $AC$ cắt $TC$ tại $Y$. Chứng minh rằng $AT$ là phân giác của góc $XAY$.

c) Chứng minh rằng ba điểm $X,H,Y$ thẳng hàng.

Cho tập hợp $S=\{1,2,\ldots,304\}$.

a) Chứng minh rằng khi chọn $3$ số phân biệt bất kỳ trong $6$ số nguyên liên tiếp bất kỳ thuộc tập $S$, luôn tồn tại hai số có khoảng cách bằng $2$, $3$ hoặc $5$.

b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong $k$ phần tử bất kỳ của tập $S$ luôn tồn tại hai số $a,b$ thỏa mãn $|a-b|\in\{2,3,5\}$.