Toán — THPT Quốc gia 2017 (mã đề 102)

Câu 1.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$-2$	$2$	$+\infty$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$3$	$0$	$+\infty$

Tìm giá trị cực đại $y_{CD}$ và giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số đã cho.

A.
$y_{CD} = 3$ và $y_{CT} = -2$ .
B.
$y_{CD} = 2$ và $y_{CT} = 0$ .
C.
$y_{CD} = -2$ và $y_{CT} = 2$ .
D.
$y_{CD} = 3$ và $y_{CT} = 0$ .

Câu 2.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{5x-2}$ .

A.
$\int \frac{dx}{5x-2} = \frac{1}{5} \ln|5x-2| + C.$
B.
$\int \frac{dx}{5x-2} = -\frac{1}{2} \ln(5x-2) + C.$
C.
$\int \frac{dx}{5x-2} = 5 \ln|5x-2| + C.$
D.
$\int \frac{dx}{5x-2} = \ln|5x-2| + C.$

Câu 3.

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

A.
$y = \frac{x+1}{x+3}.$
B.
$y = x^3 + 3x.$
C.
$y = \frac{x-1}{x-2}.$
D.
$y = -x^3 - 3x.$

Câu 4.

Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm $M$ như hình bên?

A.
$z_4 = 2 + i.$
B.
$z_2 = 1 + 2i.$
C.
$z_3 = -2 + i.$
D.
$z_1 = 1 - 2i.$

Câu 5.

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A.
$y = x^4 - 2x^2 + 1.$
B.
$y = -x^4 + 2x^2 + 1.$
C.
$y = -x^3 + 3x^2 + 1.$
D.
$y = x^3 - 3x^2 + 3.$

Câu 6.

Cho $a$ là số thực dương khác $1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương $x, y$ ?

A.
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y.$
B.
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x + \log_a y.$
C.
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a (x-y).$
D.
$\log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y}.$

Câu 7.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ .

A.
$OA = 3.$
B.
$OA = 9.$
C.
$OA = \sqrt{5}.$
D.
$OA = 5.$

Câu 8.

Cho hai số phức $z_1 = 4 - 3i$ và $z_2 = 7 + 3i$ . Tìm số phức $z = z_1 - z_2$ .

A.
$z = 11.$
B.
$z = 3 + 6i.$
C.
$z = -1 - 10i.$
D.
$z = -3 - 6i.$

Câu 9.

Tìm nghiệm của phương trình $\log_2(1-x)=2$ .

A.
$x=-4.$
B.
$x=-3.$
C.
$x=3.$
D.
$x=5.$

Câu 10.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $(Oyz)$ ?

A.
$y=0$ .
B.
$x=0$ .
C.
$y-z=0$ .
D.
$z=0$ .

Câu 11.

Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ .
B.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; +\infty)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$ .

Câu 12.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ . Tính $I = F(e) - F(1)$ .

A.
$I = e.$
B.
$I = \frac{1}{e}.$
C.
$I = \frac{1}{2}.$
D.
$I = 1.$

Câu 13.

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$ .

A.
$P = x^{\frac{1}{8}}.$
B.
$P = x^2.$
C.
$P = \sqrt{x}.$
D.
$P = x^{\frac{2}{3}}.$

Câu 14.

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ với $a, b, c$ là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
Phương trình $y' = 0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
B.
Phương trình $y' = 0$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
C.
Phương trình $y' = 0$ vô nghiệm trên tập số thực.
D.
Phương trình $y' = 0$ có đúng một nghiệm thực.

Câu 15.

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}$ .

A.
3.
B.
1.
C.
0.
D.
2.

Câu 16.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

A.
$m > 6.$
B.
$m \geq 6.$
C.
$m \leq 6.$
D.
$m < 6.$

Câu 17.

Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình $3z^2 - z + 1 = 0$ . Tính $P = |z_1| + |z_2|$ .

A.
$P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
B.
$P = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ .
C.
$P = \frac{2}{3}$ .
D.
$P = \frac{\sqrt{14}}{3}$ .

Câu 18.

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $BB' = a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt{2}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A.
$V = a^3$ .
B.
$V = \dfrac{a^3}{3}$ .
C.
$V = \dfrac{a^3}{6}$ .
D.
$V = \dfrac{a^3}{2}$ .

Câu 19.

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và chiều cao $h = 4$ . Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.

A.
$V = \dfrac{16\pi \sqrt{3}}{3}$ .
B.
$V = 4\pi$ .
C.
$V = 16\pi \sqrt{3}$ .
D.
$V = 12\pi$ .

Câu 20.

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{2 + \sin x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0$ , $x = \pi$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

A.
$V = 2(\pi + 1)$ .
B.
$V = 2\pi (\pi + 1)$ .
C.
$V = 2\pi^2$ .
D.
$V = 2\pi$ .

Câu 21.

Cho $\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx = 2$ và $\int\limits_{-1}^1 g(x)\,dx = -1$ . Tính $I = \int\limits_{-1}^1 [x + 2f(x) - 3g(x)]\,dx$ .

A.
$I = \dfrac{5}{2}.$
B.
$I = \dfrac{7}{2}.$
C.
$I = \dfrac{17}{2}.$
D.
$I = \dfrac{11}{2}.$

Câu 22.

Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$a = 2\sqrt{3}R.$
B.
$a = \frac{\sqrt{3}R}{3}.$
C.
$a = 2R.$
D.
$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}.$

Câu 23.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0; -1; 3)$ , $B(1; 0; 1)$ và $C(-1; 1; 2)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A$ và song song với đường thẳng $BC$ ?

A.
$\begin{cases} x = -2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + t. \end{cases}$
B.
$x - 2y + z = 0.$
C.
$\dfrac{x}{-2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{1}.$
D.
$\dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{1}.$

Câu 24.

Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $\left[0; \sqrt{3}\right]$ .

A.
$M = 9.$
B.
$M = 8\sqrt{3}.$
C.
$M = 1.$
D.
$M = 6.$

Câu 25.

Mặt phẳng $(A'BC)$ chia khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ thành các khối đa diện nào?

A.
Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B.
Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C.
Hai khối chóp tam giác.
D.
Hai khối chóp tứ giác.

Câu 26.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(4;0;1)$ và $B(-2;2;3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ ?

A.
$3x-y-z=0.$
B.
$3x+y+z-6=0.$
C.
$3x-y-z+1=0.$
D.
$6x-2y-2z-1=0.$

Câu 27.

Cho số phức $z = 1 - i + i^3$ . Tìm phần thực $a$ và phần ảo $b$ của $z$ .

A.
$a = 0,\ b = 1.$
B.
$a = -2,\ b = 1.$
C.
$a = 1,\ b = 0.$
D.
$a = 1,\ b = -2.$

Câu 28.

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_2 (2x+1)$ .

A.
$y' = \frac{1}{(2x+1) \ln 2}$ .
B.
$y' = \frac{2}{(2x+1) \ln 2}$ .
C.
$y' = \frac{2}{2x+1}$ .
D.
$y' = \frac{1}{2x+1}$ .

Câu 29.

Cho $\log_a b = 2$ và $\log_a c = 3$ . Tính $P = \log_a (b^2 c^3)$ .

A.
$P = 31.$
B.
$P = 13.$
C.
$P = 30.$
D.
$P = 108.$

Câu 30.

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{\sqrt{2}}(x-1) + \log_{\frac{1}{2}}(x+1) = 1$ .

A.
$S = \{2+\sqrt{5}\}$ .
B.
$S = \{2-\sqrt{5}; 2+\sqrt{5}\}$ .
C.
$S = \{3\}$ .
D.
$S = \left\{\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right\}$ .

Câu 31.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - 2^{x+1} + m = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.
$m \in (-\infty; 1)$ .
B.
$m \in (0; +\infty)$ .
C.
$m \in (0; 1]$ .
D.
$m \in (0; 1)$ .

Câu 32.

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$ .

A.
$m = 1$ .
B.
$m = -1$ .
C.
$m = 5$ .
D.
$m = -7$ .

Câu 33.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x+1)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 2$ và hai đường thẳng $d: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}$ , $\Delta: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ , song song với $d$ và $\Delta$ ?

A.
$x+z+1=0.$
B.
$x+y+1=0.$
C.
$y+z+3=0.$
D.
$x+z-1=0.$

Câu 34.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1; -2; 3)$ và hai mặt phẳng $(P): x + y + z + 1 = 0$ , $(Q): x - y + z - 2 = 0$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua $A$ , song song với $(P)$ và $(Q)$ ?

A.
$\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 \\ z = -3 - t. \end{cases}$
B.
$\begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \\ z = 3 - 2t. \end{cases}$
C.
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 + 2t. \end{cases}$
D.
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 \\ z = 3 - t. \end{cases}$

Câu 35.

Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ ( $m$ là tham số thực) thỏa mãn $\min\limits_{[1;2]} y + \max\limits_{[1;2]} y = \frac{16}{3}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$m \leq 0$ .
B.
$m > 4$ .
C.
$0 < m \leq 2$ .
D.
$2 < m \leq 4$ .

Câu 36.

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB = a$ , $AD = a\sqrt{3}$ , $SA$ vuông góc với đáy và mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^\circ$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ .

A.
$V = \dfrac{a^3}{3}$ .
B.
$V = \dfrac{\sqrt{3}a^3}{3}$ .
C.
$V = a^3$ .
D.
$V = 3a^3$ .

Câu 37.

Cho $x, y$ là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn $x^2 + 9y^2 = 6xy$ . Tính $M = \frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 \log_{12} (x + 3y)}$ .

A.
$M = \frac{1}{4}$ .
B.
$M = 1$ .
C.
$M = \frac{1}{2}$ .
D.
$M = \frac{1}{3}$ .

Câu 38.

Một vật chuyển động trong 3 giờ đầu với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2; 9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A.
$s = 24{,}25$ km.
B.
$s = 26{,}75$ km.
C.
$s = 24{,}75$ km.
D.
$s = 25{,}25$ km.

Câu 39.

Cho số phức $z = a + bi$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) thỏa mãn $z + 2 + i = |z|$ . Tính $S = 4a + b$ .

A.
$S = 4$ .
B.
$S = 2$ .
C.
$S = -2$ .
D.
$S = -4$ .

Câu 40.

Cho $F(x) = (x-1)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)e^{2x}$ .

A.
$\int f'(x)e^{2x}dx = (4-2x)e^{x} + C$ .
B.
$\int f'(x)e^{2x}dx = \frac{2-x}{2}e^{x} + C$ .
C.
$\int f'(x)e^{2x}dx = (2-x)e^{x} + C$ .
D.
$\int f'(x)e^{2x}dx = (x-2)e^{x} + C$ .

Câu 41.

Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

A.
Năm 2023.
B.
Năm 2022.
C.
Năm 2021.
D.
Năm 2020.

Câu 42.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$-1$	$3$	$+\infty$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$		$5$		$1$	$+\infty$

Đồ thị của hàm số $y = |f(x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.
4.
B.
2.
C.
3.
D.
5.

Câu 43.

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $3a$ . Hình nón $(N)$ có đỉnh $A$ và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của $(N)$ .

A.
$S_{xq} = 6\pi a^2$ .
B.
$S_{xq} = 3\sqrt{3}\pi a^2$ .
C.
$S_{xq} = 12\pi a^2$ .
D.
$S_{xq} = 6\sqrt{3}\pi a^2$ .

Câu 44.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2\sqrt{2}$ và $(z-1)^2$ là số thuần ảo?

A.
0.
B.
4.
C.
3.
D.
2.

Câu 45.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = -mx$ cắt đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 - m + 2$ tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB = BC$ .

A.
$m \in (-\infty;3)$ .
B.
$m \in (-\infty;-1)$ .
C.
$m \in (-\infty;+\infty)$ .
D.
$m \in (1;+\infty)$ .

Câu 46.

Xét các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $\log_2 \frac{1-ab}{a+b} = 2ab + a + b - 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của $P = a + 2b$ .

A.
$P_{\min} = \frac{2\sqrt{10} - 3}{2}.$
B.
$P_{\min} = \frac{3\sqrt{10} - 7}{2}.$
C.
$P_{\min} = \frac{2\sqrt{10} - 1}{2}.$
D.
$P_{\min} = \frac{2\sqrt{10} - 5}{2}.$

Câu 47.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(4;6;2)$ , $B(2;-2;0)$ và mặt phẳng $(P): x+y+z=0$ . Xét đường thẳng $d$ thay đổi thuộc $(P)$ và đi qua $B$ , gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$ . Biết rằng khi $d$ thay đổi thì $H$ thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính $R$ của đường tròn đó.

A.
$R=\sqrt{6}$ .
B.
$R=2$ .
C.
$R=1$ .
D.
$R=\sqrt{3}$ .

Câu 48.

Cho hàm số $y = f(x)$ . Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình bên. Đặt $g(x) = 2f(x) - (x+1)^2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$g(-3) > g(3) > g(1)$ .
B.
$g(1) > g(-3) > g(3)$ .
C.
$g(3) > g(-3) > g(1)$ .
D.
$g(1) > g(3) > g(-3)$ .

Câu 49.

Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB = x$ và các cạnh còn lại đều bằng $2\sqrt{3}$ . Tìm $x$ để thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

A.
$x = \sqrt{6}.$
B.
$x = \sqrt{14}.$
C.
$x = 3\sqrt{2}.$
D.
$x = 2\sqrt{3}.$

Câu 50.

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $4$ , hình trụ $(H)$ có chiều cao bằng $4$ và hai đường tròn đáy nằm trên $(S)$ . Gọi $V_1$ là thể tích của khối trụ $(H)$ và $V_2$ là thể tích của khối cầu $(S)$ . Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ .

A.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{9}{16}.$
B.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{3}.$
C.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{3}{16}.$
D.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{2}{3}.$