Toán — THPT Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc (khảo sát tốt nghiệp THPT 2025)

Câu 1.

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$	$-3$	$0$	$3$	$+\infty$
$f'(x)$	–	0	+	0	–
$f(x)$	+ $\infty$		–1		1	–1	+ $\infty$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(-3;3)$ .
B.
$(-3;0)$ .
C.
$(0;3)$ .
D.
$(-\infty;-3)$ .

Câu 2.

Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ có $u_9 = 5u_2$ và $u_{13} = 2u_6 + 5$ .

A.
$u_1 = 3$ và $d = 4$ .
B.
$u_1 = 3$ và $d = 5$ .
C.
$u_1 = 4$ và $d = 5$ .
D.
$u_1 = 4$ và $d = 3$ .

Câu 3.

Tập nghiệm của bất phương trình $2^x \le 4$ là:

A.
$(-\infty;2)$
B.
$[0;2]$
C.
$(-\infty;2]$
D.
$(0;2)$

Câu 4.

$\int x^4 dx$ bằng

A.
$\frac{1}{5}x^5 + C$ .
B.
$4x^3 + C$ .
C.
$x^5 + C$ .
D.
$5x^5 + C$ .

Câu 5.

Cho $I = \int\limits_0^1 (4x - 2m^2) dx$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $I + 6 > 0$ ?

A.
1.
B.
5.
C.
2.
D.
3.

Câu 6.

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha): 2x - 3y + z + 1 = 0$ . Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là:

A.
$\vec{n}_2 = (2;0;-3)$ .
B.
$\vec{n}_1 = (2;-3;1)$ .
C.
$\vec{n}_3 = (-2;0;-3)$ .
D.
$\vec{n}_4 = (-2;3;-1)$ .

Câu 7.

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;0;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x - y + z + 3 = 0$ là:

A.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 \\ z = 1 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
B.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
C.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 \\ z = -1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
D.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

Câu 8.

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu?

A.
$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=3$ .
B.
$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=-3$ .
C.
$(x-1)+(y-3)+(z+2)=9$ .
D.
$(x-1)+(y-3)+(z+2)=-9$ .

Câu 9.

Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

Khối lượng (gam)	$[80;82)$	$[82;84)$	$[84;86)$	$[86;88)$	$[88;90)$
Số quả	17	20	25	16	12

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A.
2 gam.
B.
12 gam.
C.
10 gam.
D.
20 gam.

Câu 10.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .

A.
$\frac{\sqrt{2}a^3}{6}$
B.
$\frac{\sqrt{2}a^3}{4}$
C.
$\sqrt{2}a^3$
D.
$\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$

Câu 11.

Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \ (a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$	0		4		$+\infty$
$f'(x)$		0	$-$	0	$+$
$f(x)$		3		$-5$

Có bao nhiêu số dương trong các số $a, b, c, d$ ?

A.
2.
B.
4.
C.
1.
D.
3.

Câu 12.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

A.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
B.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
C.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
D.
$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Câu 13.

Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ . Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

A)
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$\min\limits_{[-1;0]} y + \max\limits_{[0;1]} y = 4$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Phương trình $x^3 - 3x + 2 = m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $a < m < b$ , khi đó $a + b = 3$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 14.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta: \frac{x}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 2025 = 0$ . Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

A)
Gọi $u$ và $n$ lần lượt là vec tơ chỉ phương và vec tơ pháp tuyến của $\Delta$ và $(P)$ . Khi đó $\vec{u}.\vec{n}=0$
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(1;-2;3)$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là $(Q): x+2y-z-6=0$
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Đường thẳng $\Delta'$ vuông góc với $\Delta$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_2=(3;-3;2)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ tạo với $(Q): x+my-3=0$ một góc $30^\circ$ . Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{-16}{5}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 15.

Biểu đồ dưới đây biểu thị kết quả thu thập được về mức tiền (đơn vị: tỷ đồng) của một số khách hàng nợ ở hai ngân hàng A và B.

A)
Bảng giá trị đại diện cho mỗi nhóm và bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu tương ứng với biểu đồ trên
Mức tiền (tỷ đồng) [1;2) [2;3) [3;4) [4;5) [5;6) [6;7)
Mức tiền đại diện (tỷ đồng) 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
Số khách hàng ngân hàng A 6 7 9 10 5 1
Số khách hàng ngân hàng B 8 6 8 9 5 2
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của ngân hàng $A$ bằng $\frac{661}{361}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của ngân hàng $B$ bằng $\frac{3221}{1444}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Người ta dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của số tiền khách hàng nợ ngân hàng. Ngân hàng nào có độ lệch chuẩn cao hơn thì có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên, độ rủi ro của ngân hàng $A$ cao hơn ngân hàng $B$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 16.

Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

A)
Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là 78 cách.
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là $\frac{12}{15}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là $\frac{87}{175}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là $\frac{52}{87}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 17. Ta xác định được các số

a, b, c

để đồ thị hàm số

y = x^3 + ax^2 + bx + c

đi qua điểm

(1;0)

và có điểm cực trị

(-2;0)

. Tính giá trị biểu thức

T = a^2 + b^2 + c^2

.Đáp án:

Câu 18. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm

t

(giây) là

v(t) = t^2 - t - 6

(mét/giây). Quãng đường (mét) vật đi được trong khoảng thời gian

1 \le t \le 4

bằng (làm tròn tới hàng phần mười)Đáp án:

Câu 19. Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả sau:

101

79

78

75

73

68

67

63

61

60

59

55

50

47

43

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là

[40; 50)

?Đáp án:

Câu 20. Trong hệ trục

Oxyz

cho trước (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng

600

m được đặt ở vị trí

I(200;450;60)

. Tìm giá trị lớn nhất của

m

(làm tròn đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí

A(m+100;m+370;0)

có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.Đáp án:

Câu 21. Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh

X

có

80\%

học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là

0,6

; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là

0,7

. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh

X

đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00. Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2Đáp án:

Câu 22. Cho hình chóp đều

S.ABC

có

SA = a

. Gọi

D, E

lần lượt là trung điểm của

SA, SC

, biết

BD

vuông góc với

AE

. Biết thể tích khối chóp

S.ABC

theo

a

là

\frac{a^3 \sqrt{m}}{n}

. Tính

m+n

Đáp án:

Mức tiền (tỷ đồng)	[1;2)	[2;3)	[3;4)	[4;5)	[5;6)	[6;7)
Mức tiền đại diện (tỷ đồng)	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
Số khách hàng ngân hàng A	6	7	9	10	5	1
Số khách hàng ngân hàng B	8	6	8	9	5	2