Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025

Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}$ là

A.
$\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$ .
B.
${e^x} + C$ .
C.
$\frac{{{e^x}}}{x} + C$ .
D.
$x.{e^{x - 1}} + C$ .

Câu 2.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a;b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

A.
$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ .
B.
$V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ .
C.
$V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$ .
D.
$V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$ .

Câu 3.

Hai mẫu số liệu ghép nhóm ${M_1},{M_2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Gọi ${s_1},{s_2}$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ${M_1},{M_2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
${s_1} = {s_2}$ .
B.
${s_1} = 2{s_2}$ .
C.
$2{s_1} = {s_2}$ .
D.
$4{s_1} = {s_2}$ .

Câu 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec u\left( {2; - 1;1} \right)$ là:

A.
$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}$ .
B.
$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{1}$ .
C.
$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}$ .
D.
$\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}$ .

Câu 5.

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A.
$x = - 1$
B.
$y = \frac{1}{2}$
C.
$y = - 1$
D.
$x = \frac{1}{2}$

Câu 6.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {x - 1} \right) \lt 3$ là:

A.
$\left( {1;9} \right)$ .
B.
$\left( { - \infty ;9} \right)$ .
C.
$\left( {9; + \infty } \right)$ .
D.
$\left( {1;7} \right)$ .

Câu 7.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ . Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.
$\overrightarrow {{n_1}} (1; - 3;1)$
B.
$\overrightarrow {{n_2}} (1; - 3; - 1)$
C.
$\overrightarrow {{n_3}} (1; - 3;8)$
D.
$\overrightarrow {{n_4}} (1;3;8)$

Câu 8.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD)?

A.
(SAB)
B.
(SBC)
C.
(SCD)
D.
(SBD)

Câu 9.

Nghiệm của phương trình ${2^x} = 6$ là:

A.
$x = {\log _6}2$
B.
$x = 3$
C.
$x = 4$
D.
$x = {\log _2}6$

Câu 10.

Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ , ${u_2} = 3$ . Số hạng ${u_5}$ của cấp số cộng là:

A.
5
B.
7
C.
9
D.
11

Câu 11.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (minh họa như hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BB'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {B'A'} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC'}$
B.
$\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {C'D'} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC'}$
C.
$\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AA'} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC'}$
D.
$\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AA'} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC'}$

Câu 12.

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - \infty ; - 1)$
B.
$( - \infty ;1)$
C.
$( - 1;1)$
D.
$(1; + \infty )$

Câu 13.

Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$ .

A)
$f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Đạo hàm của hàm số đã cho là ${f^\prime }(x) = 2\sin x + 1$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Nghiệm của phương trình ${f^\prime }(x) = 0$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\frac{\pi }{6}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 14.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200m , tốc độ của ô tô là $36\;{\rm{km}}/{\rm{h}}$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b(a,b \in \mathbb{R},a \gt 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

A)
Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Giá trị của $b$ là 10.
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \le t \le 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \int_0^{24} v (t)dt$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100\;{\rm{km}}/{\rm{h}}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 15.

Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là $70\%$ và $30\%$ .

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm".

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

A)
Xác suất $P(B) = \frac{{21}}{{40}}$ và $P(\bar B) = \frac{{19}}{{40}}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Xác suất có điều kiện $P(A\mid B) = 0,3$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Xác suất $P(A) = 0,51$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70\%$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).Đáp án:Đáp án:

Câu 17. Một trò chởi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ A, B, C, D với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?Đáp án:Đáp án:

Câu 18. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm

M

trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm

A\left( {3;1;0} \right)

,

B\left( {3;6;6} \right)

,

C\left( {4;6;2} \right)

,

D\left( {6;2;14} \right)

; vị trí

M\left( {a;b;c} \right)

thỏa mãn

MA = 3,MB = 6,

MC = 5,MD = 13

. Khoảng cách từ điểm

M

đến điểm

O

bằng bao nhiêu?Đáp án:Đáp án:

Câu 19. Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m . Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?Đáp án:Đáp án:

Câu 20. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất

x

sản phẩm

(1 \le x \le 500)

thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là

F(x) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000

(đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là

G(x) = x + 1000 + \frac{{250000}}{x}

(đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?Đáp án:Đáp án:

Câu 21. Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).Đáp án:Đáp án: