Đồ thị P–V: công của khí là diện tích, không phải một công thức phải thuộc

Phần 1. Bốn quá trình, bốn công thức, và một dấu trừ lang thang

Chương chất khí và nhiệt động lực học đưa ra bốn "đẳng quá trình", mỗi cái một cách tính công:

Quá trình	Đặc điểm	Công của khí
Đẳng áp	$P$ không đổi	$A = P\,\Delta V$
Đẳng tích	$V$ không đổi	$A = 0$
Đẳng nhiệt	$T$ không đổi	$A = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$
Đoạn nhiệt	$Q = 0$	$A = -\Delta U$

Bốn công thức không giống nhau chút nào, và học sinh phải nhận diện đúng quá trình trước khi chọn. Thêm vào đó là một dấu trừ đi lang thang giữa hai cách viết nguyên lý I:

Cả hai đều xuất hiện trong tài liệu, tuỳ $A$ được định nghĩa là công khí nhận hay công khí sinh. Học sinh gặp cả hai và trộn chúng vào nhau.

Chương trình AP Physics 2 dạy chương này quanh một hình vẽ, và bốn công thức trên trở thành bốn hình dạng của cùng một phép tính diện tích.

Phần 2. Bản chất: công là diện tích dưới đường biểu diễn

Khi khí dãn ra một lượng rất nhỏ $\mathrm{d}V$ ở áp suất $P$, nó sinh công $P\,\mathrm{d}V$. Cộng dồn lại:

Đó là diện tích dưới đường biểu diễn trên giản đồ $P$–$V$. Không có gì thêm.

Bốn công thức ở phần 1 chỉ là bốn hình khác nhau:

• Đẳng áp: đường nằm ngang ⇒ diện tích là hình chữ nhật ⇒ $A = P\,\Delta V$.
• Đẳng tích: đường thẳng đứng ⇒ diện tích bằng 0 ⇒ $A = 0$.
• Đẳng nhiệt: đường hypebol ⇒ diện tích cho ra lôgarit.
• Đoạn nhiệt: đường dốc hơn đẳng nhiệt ⇒ diện tích nhỏ hơn với cùng $\Delta V$.

Quy ước dấu, viết một lần rồi dùng mãi

• Khí DÃN ($\Delta V > 0$): khí sinh công, $A_{\text{khí sinh}} > 0$.
• Khí NÉN ($\Delta V < 0$): khí nhận công, $A_{\text{khí sinh}} < 0$.

Trên hình, đi sang phải là sinh công, đi sang trái là nhận công. Không cần nhớ dấu nào cả — chỉ cần nhìn chiều mũi tên.

Ba lưu ý

• Chu trình chạy theo CHIỀU KIM ĐỒNG HỒ thì khí sinh công (đó là động cơ nhiệt); ngược chiều kim đồng hồ thì khí nhận công (đó là máy lạnh, tủ lạnh, điều hoà). Một cái nhìn, và biết ngay thiết bị đang làm gì.
• Công phụ thuộc ĐƯỜNG ĐI, không chỉ phụ thuộc hai đầu. Hai đường khác nhau nối cùng hai điểm cho hai diện tích khác nhau, tức hai giá trị công khác nhau. Đây là khác biệt cốt lõi giữa công/nhiệt (phụ thuộc quá trình) và nội năng (chỉ phụ thuộc trạng thái).
• Sau một chu trình khép kín thì $\Delta U = 0$ vì khí trở về đúng trạng thái đầu. Nhưng $A \neq 0$ và $Q \neq 0$ — và chính điều này làm động cơ nhiệt chạy được.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Một lượng khí lí tưởng thực hiện chu trình $A \to B \to C \to D \to A$, trong đó $A(2\text{ L};\,3\cdot10^5\text{ Pa})$, $B(6\text{ L};\,3\cdot10^5\text{ Pa})$, $C(6\text{ L};\,1\cdot10^5\text{ Pa})$, $D(2\text{ L};\,1\cdot10^5\text{ Pa})$. Công mà khí sinh ra trong cả chu trình là A. $1200$ J B. $800$ J C. $0$ D. $1600$ J

Cách 1 — Chu trình khép kín nên công bằng không

Lập luận: "Khí trở về đúng trạng thái ban đầu, nên mọi đại lượng đều trở về giá trị cũ, vậy công bằng $0$." Chọn C.

Điểm yếu. Sai, và sai theo một cách rất đáng nói vì một nửa của lập luận hoàn toàn đúng: nội năng $U$ đúng là trở về giá trị cũ, nên $\Delta U = 0$. Nhưng công không phải một hàm trạng thái. Nó phụ thuộc đường đi, và chu trình này đi qua hai đường khác nhau ở hai mức áp suất khác nhau.

Nếu $A = 0$ thì không một động cơ nhiệt nào trên đời chạy được — đó là phép kiểm nhanh nhất cho lập luận ấy.

Cách 2 — Cộng diện tích từng chặng

$A \to B$: dãn đẳng áp ở $P = 3\cdot10^5$ Pa, $\Delta V = +4$ L $= +4\cdot10^{-3}$ m³.

$B \to C$: đẳng tích ⇒ $A_{BC} = 0$.

$C \to D$: nén đẳng áp ở $P = 1\cdot10^5$ Pa, $\Delta V = -4\cdot10^{-3}$ m³.

$D \to A$: đẳng tích ⇒ $A_{DA} = 0$.

Đáp án B.

Kiểm bằng hình, không cần cộng gì: chu trình là một hình chữ nhật với hai cạnh $\Delta V = 4\cdot10^{-3}$ m³ và $\Delta P = 2\cdot10^5$ Pa.

Một phép nhân. Và vì chu trình chạy theo chiều kim đồng hồ (sang phải ở trên, sang trái ở dưới), công mang dấu dương — khí sinh công, đây là một động cơ nhiệt.

Ba phương án còn lại: A ($1200$ J) chỉ lấy chặng dãn, quên chặng nén; C ($0$) nhầm công với nội năng; D ($1600$ J) cộng trị tuyệt đối hai chặng thay vì trừ.

	Cộng bốn công thức	Đọc diện tích
Số công thức phải nhớ	4	0
Nhận diện quá trình	phải làm trước	nhìn hình là ra
Xử lý dấu	nhớ quy ước	nhìn chiều mũi tên
Chu trình bất kỳ	cộng từng chặng	diện tích hình khép kín
Đường cong (đẳng nhiệt)	cần lôgarit	ước lượng được bằng ô lưới

⭐ Hai câu thay cho cả chương: diện tích dưới đường là công; diện tích trong chu trình khép kín là công của cả chu trình, dương nếu chạy theo chiều kim đồng hồ. Học sinh nhớ hai câu này làm được mọi bài của chương, kể cả bài chu trình hình tam giác mà không công thức nào trong sách phủ tới.

Vì sao giản đồ P–V còn trả lời được câu hỏi về hiệu suất

Với chu trình trên, áp nguyên lý I cho cả chu trình:

Tức là: lượng nhiệt thực mà khí nhận được trong cả chu trình đúng bằng công nó sinh ra. Hiệu suất của động cơ là

và công ở tử số đọc thẳng từ diện tích. Đây là lý do mọi bài giảng về động cơ nhiệt đều bắt đầu bằng một giản đồ $P$–$V$ chứ không bằng một công thức.

Phần 4. Góc giáo viên

Đọc giản đồ $P$–$V$ phục vụ năng lực nhận thức vật lí và nối trực tiếp với giáo dục STEM: động cơ nhiệt, tủ lạnh, máy điều hoà đều đọc được từ một hình.

• Dạy "công là diện tích" TRƯỚC bốn công thức đẳng quá trình. Đảo thứ tự thì bốn công thức trở thành bốn trường hợp riêng các em tự suy ra, thay vì bốn thứ rời rạc phải thuộc.
• Ra bài tập vẽ chu trình từ mô tả bằng lời rồi mới hỏi công. Bước vẽ là bước lọc: em nào chưa phân biệt được đẳng áp với đẳng tích sẽ lộ ra ngay.
• Dùng chu trình hình TAM GIÁC ít nhất một lần. Không có công thức nào trong sách tính được nó, nhưng diện tích tam giác thì lớp 6 đã biết. Đây là bài chứng minh rõ nhất rằng phương pháp hình mạnh hơn danh sách công thức.
• Nối với đồ thị $F$–$x$ ở chương công cơ học — cùng một ý: diện tích dưới đồ thị là công. Học sinh thấy được sự thống nhất thay vì hai mẹo rời.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, phương án $0$ cho chu trình khép kín — bẫy dựa trên việc lẫn công với nội năng. Thứ hai, đơn vị: lít phải đổi ra m³ ($1$ L $= 10^{-3}$ m³), và quên đổi thì lệch đúng $1000$ lần. Thứ ba, đề vẽ trục ngược (trục tung là $V$, trục hoành là $P$) — khi ấy diện tích không còn là công nữa.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một lượng khí giãn đẳng áp ở $P = 2\cdot10^5$ Pa từ $3$ L lên $8$ L, đồng thời nhận nhiệt lượng $2000$ J. Tính công khí sinh ra và độ biến thiên nội năng.

Gợi ý: diện tích hình chữ nhật, rồi dùng $\Delta U = Q - A_{\text{khí sinh}}$. Đáp án: $A = 2\cdot10^5 \times 5\cdot10^{-3} = 1000$ J. $\Delta U = 2000 - 1000 = 1000$ J.

Bài 2. Một chu trình gồm ba chặng tạo thành tam giác với ba đỉnh $(1\text{ L};\,1\cdot10^5)$, $(5\text{ L};\,1\cdot10^5)$ và $(1\text{ L};\,4\cdot10^5)$ Pa, chạy theo chiều $(1;1) \to (5;1) \to (1;4) \to (1;1)$. Tính công của cả chu trình và cho biết đây là động cơ hay máy lạnh.

Gợi ý: diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $\Delta V = 4$ L và $\Delta P = 3\cdot10^5$ Pa; xét chiều chạy. Đáp án: $A = \frac12 \times 4\cdot10^{-3} \times 3\cdot10^5 = 600$ J. Chu trình chạy ngược chiều kim đồng hồ (từ trái sang phải ở dưới rồi vòng lên trái), nên khí nhận công: $A_{\text{khí sinh}} = -600$ J — đây là một máy lạnh.

---

Nhiệt động lực học là chương mà lẫn công với nội năng vẫn cho ra một phương án có sẵn trong đề. Thầy cô có thể dựng bộ đề luyện đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem tỷ lệ chọn phương án "$0$ vì chu trình khép kín" — con số ấy đo đúng số em chưa phân biệt hàm trạng thái với đại lượng phụ thuộc quá trình. Dùng thử miễn phí tại đây.

---