Kirchhoff: mạch nhiều nguồn thành hệ phương trình

Định luật Kirchhoff: giải mạch nhiều nguồn mà không cần vẽ lại sơ đồ tương đương

Phần 1. Khi mạch không rút gọn được nữa

Phương pháp chủ đạo ở lớp 11 là rút gọn: gộp điện trở nối tiếp, gộp song song, vẽ lại sơ đồ đơn giản hơn, lặp lại cho tới khi còn một điện trở, rồi đi ngược lại tìm dòng từng nhánh.

Cách ấy rất tốt — cho tới khi gặp một mạch không rút gọn được. Hai trường hợp phổ biến trong đề thi:

Mạch có từ hai nguồn trở lên nằm ở các nhánh khác nhau. Không có cặp điện trở nào "nối tiếp" hay "song song" theo nghĩa thuần tuý, vì giữa chúng có nguồn.
Mạch cầu không cân bằng. Năm điện trở, không hai cái nào nối tiếp hay song song với nhau.

Ở cả hai, học sinh quen rút gọn sẽ bế tắc, rồi thường chọn một trong hai lối thoát sai: cộng hai suất điện động lại như thể hai nguồn nối tiếp, hoặc bỏ qua nguồn nhỏ hơn.

Kirchhoff giải quyết bằng cách khác hẳn: không rút gọn gì cả, mà đặt ẩn cho dòng từng nhánh rồi viết đủ phương trình.

Phần 2. Bản chất: hai định luật, hai loại phương trình

Mạch hai nguồn với nút A và ba nhánh dòng điện

Định luật nút (định luật I) — tại mỗi nút, tổng dòng đi vào bằng tổng dòng đi ra.

\sum I_{\text{vào}} = \sum I_{\text{ra}}

Đây chỉ là bảo toàn điện tích: điện tích không tích tụ ở một điểm nối dây.

Định luật vòng (định luật II) — đi hết một vòng kín rồi quay về chỗ cũ, tổng độ biến thiên điện thế bằng $0$ .

\sum \varepsilon - \sum IR = 0

Đây chỉ là bảo toàn năng lượng: đi một vòng về chỗ cũ thì thế năng của một điện tích không đổi.

Quy trình bốn bước

Bước 1 — Đặt tên và CHỌN CHIỀU cho dòng ở mỗi nhánh. Chọn tuỳ ý. Nếu chọn sai, kết quả ra số âm và tự sửa giúp ta — đây là điểm rộng lượng nhất của phương pháp.

Bước 2 — Viết phương trình nút. Mạch có $n$ nút thì viết $n-1$ phương trình; phương trình thứ $n$ luôn là hệ quả của các phương trình trước.

Bước 3 — Viết phương trình vòng cho đủ số vòng độc lập.

Bước 4 — Giải hệ. Số phương trình luôn vừa đủ bằng số ẩn.

Ba lưu ý về DẤU — chỗ sai duy nhất của phương pháp

Qua một nguồn: đi từ cực $-$ sang cực $+$ thì cộng $+\varepsilon$ ; đi ngược lại thì $-\varepsilon$ . Chiều dòng điện không liên quan tới dấu này.
Qua một điện trở: đi cùng chiều dòng đã chọn thì $-IR$ ; đi ngược chiều thì $+IR$ .
Chọn một chiều đi vòng rồi giữ nguyên cho hết vòng đó. Đổi chiều giữa chừng là nguồn gốc của gần như mọi lỗi dấu.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Cho mạch như hình: nguồn $\varepsilon_1 = 12$ V nối tiếp $R_1 = 4\ \Omega$ ở nhánh trái; nguồn $\varepsilon_2 = 8$ V nối tiếp $R_2 = 4\ \Omega$ ở nhánh phải; hai nhánh cùng nối vào $R_3 = 3\ \Omega$ ở nhánh giữa. Bỏ qua điện trở trong của nguồn. Cường độ dòng điện qua $R_3$ là A. $0{,}5$ A B. $1{,}5$ A C. $2$ A D. $4$ A

Cách 1 — Cố rút gọn

Nhiều em nhìn thấy hai nguồn rồi kết luận "hai nguồn mắc xung đối", lấy hiệu suất điện động:

I = \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{R_1 + R_2} = \frac{12 - 8}{4 + 4} = 0{,}5 \text{ A}

rồi chọn A.

Điểm yếu. Sai, và sai ở một giả thiết chưa hề được kiểm: công thức ấy chỉ đúng cho mạch kín chỉ gồm hai nguồn và hai điện trở, tức khi nhánh $R_3$ không tồn tại. Ở đây $R_3$ có mặt và mang dòng, nên cả ba nhánh đều khác nhau. Con số $0{,}5$ A hoá ra đúng là dòng qua $R_2$ — một sự trùng hợp khiến phương án này càng khó bị nghi ngờ.

Cách 2 — Kirchhoff, ba ẩn ba phương trình

Đặt $I_1$ , $I_2$ là dòng từ hai nguồn chạy vào nút $A$ , và $I_3$ là dòng từ $A$ chạy qua $R_3$ .

Phương trình nút tại $A$ :

I_1 + I_2 = I_3

Vòng trái (qua $\varepsilon_1$ , $R_1$ , $R_3$ ):

12 = 4I_1 + 3I_3

Vòng phải (qua $\varepsilon_2$ , $R_2$ , $R_3$ ):

8 = 4I_2 + 3I_3

Đặt $U_A = 3I_3$ là hiệu điện thế trên $R_3$ . Hai phương trình vòng cho $I_1 = \dfrac{12 - U_A}{4}$ và $I_2 = \dfrac{8 - U_A}{4}$ . Thay vào phương trình nút:

\frac{12 - U_A}{4} + \frac{8 - U_A}{4} = \frac{U_A}{3}

\frac{20 - 2U_A}{4} = \frac{U_A}{3} \;\Longrightarrow\; 60 - 6U_A = 4U_A \;\Longrightarrow\; U_A = 6 \text{ V}

I_3 = \frac{6}{3} = 2 \text{ A}, \qquad I_1 = \frac{12-6}{4} = 1{,}5 \text{ A}, \qquad I_2 = \frac{8-6}{4} = 0{,}5 \text{ A}

Kiểm nút: $1{,}5 + 0{,}5 = 2$ ✓

Đáp án C.

Ba phương án còn lại đều là một lỗi cụ thể: A ( $0{,}5$ A) lấy hiệu hai suất điện động như phân tích trên — và tình cờ trùng với $I_2$ ; B ( $1{,}5$ A) là $I_1$ , tức chỉ xét nguồn thứ nhất; D ( $4$ A) là $12/3$ , tức bỏ quên $R_1$ .

Phép kiểm chéo: gộp hai nguồn thành một

Hai nhánh nguồn song song có thể thay bằng một nguồn tương đương:

\varepsilon_{td} = \frac{\varepsilon_1/R_1 + \varepsilon_2/R_2}{1/R_1 + 1/R_2} = \frac{3 + 2}{0{,}5} = 10 \text{ V}, \qquad r_{td} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 2\ \Omega

I_3 = \frac{10}{2 + 3} = 2 \text{ A} \;\checkmark

Hai đường hoàn toàn khác nhau, cùng một đáp số. Đây là phép kiểm rẻ nhất cho mọi bài mạch hai nguồn.

	Rút gọn / công thức nhớ sẵn	Kirchhoff
Mạch hai nguồn khác nhánh	không áp dụng được	vẫn chạy
Mạch cầu không cân bằng	bế tắc	vẫn chạy
Chọn chiều dòng sai	ra kết quả sai	ra số âm, tự sửa
Số bước	ít nhưng phải nhớ đúng công thức	nhiều nhưng máy móc
Tự kiểm	không có	thay lại vào phương trình nút

⭐ Luật chọn phương pháp, quyết trong năm giây: nếu có từ hai nguồn nằm ở hai nhánh khác nhau, hoặc mạch cầu không cân bằng, thì ĐỪNG rút gọn — đặt ẩn và viết hệ. Rút gọn nhanh hơn ở những bài nó áp dụng được, nhưng nó không báo lỗi khi bị dùng sai chỗ.

Phần 4. Góc giáo viên

Định luật Kirchhoff phục vụ năng lực nhận thức vật lí và năng lực giải quyết vấn đề: học sinh chuyển một bài toán mạch thành một hệ phương trình — đúng cách người làm kỹ thuật điện làm việc.

Dạy nó như một quy trình MÁY MÓC, không như một mẹo. Giá trị của Kirchhoff nằm ở chỗ nó không đòi sáng tạo: đặt ẩn, đếm nút, đếm vòng, viết đủ phương trình. Học sinh trung bình dùng được, và đó là điểm mạnh.
Bắt buộc chọn chiều dòng và VẼ MŨI TÊN lên sơ đồ trước khi viết gì. Chiều nằm trong đầu thì dấu sẽ lệch, và lệch dấu thì không phép kiểm nào của học sinh bắt được.
Ra một bài mà chiều dòng chọn ban đầu chắc chắn sai, rồi cho các em thấy kết quả ra số âm nghĩa là gì. Đây là bài học đắt nhất mà phương pháp này dạy được, và nó không có trong bài giảng lý thuyết.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, đề cho điện trở trong $r$ của nguồn — khi ấy nó nối tiếp vào chính nhánh ấy, không gộp vào chỗ khác. Thứ hai, phương án "hiệu hai suất điện động chia tổng hai điện trở" gần như luôn có mặt. Thứ ba, đề hỏi hiệu điện thế giữa hai điểm chứ không hỏi dòng: khi ấy phải đi từ điểm này sang điểm kia theo một đường và cộng đúng dấu — đi hai đường khác nhau phải ra cùng một số, và đó là phép kiểm.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Với mạch ở bài mẫu, tính công suất toả nhiệt trên $R_3$ và công suất mà mỗi nguồn cung cấp.

Gợi ý: $P = I^2 R$ cho điện trở, $P = \varepsilon I$ cho nguồn. Đáp án: $P_3 = 2^2 \times 3 = 12$ W. Nguồn 1: $12 \times 1{,}5 = 18$ W; nguồn 2: $8 \times 0{,}5 = 4$ W. Tổng cung cấp $22$ W; tổng tiêu thụ $= 12 + 1{,}5^2(4) + 0{,}5^2(4) = 12 + 9 + 1 = 22$ W ✓

Bài 2. Vẫn mạch ấy nhưng đổi $\varepsilon_2 = 4$ V. Tính $I_2$ và cho biết dòng qua nguồn 2 chạy theo chiều nào.

Gợi ý: làm lại đúng ba phương trình, chỉ đổi một con số. Đáp án: $\dfrac{12-U}{4} + \dfrac{4-U}{4} = \dfrac{U}{3} \Rightarrow 48 - 6U = 4U \Rightarrow U = 4{,}8$ V; $I_2 = \dfrac{4-4{,}8}{4} = -0{,}2$ A. Dấu âm nghĩa là dòng chạy ngược chiều đã chọn — nguồn 2 đang bị nạp chứ không phát.

Mạch nhiều nguồn là dạng mà một công thức nhớ nhầm chỗ vẫn cho ra con số nằm gọn trong bốn phương án. Thầy cô có thể dựng bộ đề luyện đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem tỷ lệ chọn phương án "hiệu hai suất điện động" — con số ấy đo đúng số em đang rút gọn ở chỗ không rút gọn được. Dùng thử miễn phí tại đây.

Bắt đầu học cùng Grade

Luyện tập, kiểm tra trình độ và theo dõi tiến độ học tập đa môn — trên web và điện thoại.

Đăng ký miễn phí

Định luật Kirchhoff: giải mạch nhiều nguồn mà không cần vẽ lại sơ đồ tương đương