Đọc đồ thị hàm số bằng kỹ thuật chuyển dịch hệ trục (Graph Transformation) chuẩn Cambridge

Phần 1. Khảo sát lại từ đầu cho một hàm chỉ khác một dấu

Đề cho đồ thị $y=f(x)$, hỏi đồ thị của $y = f(x-2) + 1$, hoặc $y = -f(x)$, hoặc $y = |f(x)|$. Phản xạ quen thuộc của học sinh là khảo sát lại: tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tìm giao điểm. Với một hàm chưa biết công thức cụ thể — đề chỉ cho đồ thị — thao tác đó thậm chí không thực hiện được.

Chỗ tốn kém hơn nằm ở dạng $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$. Hai biểu thức trông gần giống nhau nhưng cho hai đồ thị khác hẳn, và đây là cặp phương án nhiễu kinh điển trong đề tốt nghiệp THPT.

Chương trình Cambridge dạy nhóm nội dung này thành một bảng quy tắc gọn gàng dưới tên Graph Transformation, học trước cả đạo hàm. Ý tưởng: đồ thị mới không cần khảo sát, nó là đồ thị cũ bị di chuyển, lật hoặc kéo co.

Phần 2. Bản chất: thay đổi bên trong hay bên ngoài dấu $f$

Toàn bộ kỹ thuật gói trong một câu:

Tác động BÊN NGOÀI $f$ thì ảnh hưởng tới $y$ và đúng như trực giác. Tác động BÊN TRONG ngoặc thì ảnh hưởng tới $x$ và NGƯỢC với trực giác.

Biểu thức	Phép biến đổi	Chiều
$f(x) + b$	tịnh tiến theo $Oy$, lên $b$	thuận trực giác
$f(x - a)$	tịnh tiến theo $Ox$, sang phải $a$	ngược trực giác
$-f(x)$	đối xứng qua $Ox$	thuận
$f(-x)$	đối xứng qua $Oy$	ngược
$k\,f(x)$, $k>1$	kéo dãn theo $Oy$ hệ số $k$	thuận
$f(kx)$, $k>1$	co theo $Ox$ hệ số $1/k$	ngược

Vì sao bên trong lại ngược? Vì $f(x-2)$ tại $x = 5$ nhận giá trị mà $f$ nhận tại $3$ — tức giá trị cũ bị đẩy sang phải 2 đơn vị. Hiểu một lần bằng lý do này thì không phải học thuộc.

Quy trình ba bước

Bước 1 — Tách biểu thức thành chuỗi phép biến đổi. $y = -2f(x+1) - 3$ đọc là: dịch trái 1 → dãn dọc 2 → lật qua $Ox$ → dịch xuống 3.

Bước 2 — Làm phép bên trong trước, phép bên ngoài sau. Thứ tự này quan trọng khi có cả hai.

Bước 3 — Theo dõi vài ĐIỂM MỐC thay vì cả đường cong. Chỉ cần đỉnh, giao điểm với trục, tiệm cận. Đồ thị mới được dựng từ ảnh của những điểm ấy.

Hai trường hợp giá trị tuyệt đối — nơi mất điểm nhiều nhất

• $y = |f(x)|$: lấy phần đồ thị nằm dưới $Ox$ lật lên trên. Phần trên giữ nguyên. Kết quả luôn nằm trên trục hoành.
• $y = f(|x|)$: giữ phần đồ thị bên phải $Oy$, rồi lấy đối xứng phần đó qua $Oy$. Phần bên trái cũ bị xoá bỏ. Kết quả luôn đối xứng qua trục tung.

Một câu phân biệt: dấu trị tuyệt đối bọc ngoài thì lật theo chiều dọc; bọc quanh $x$ thì lật theo chiều ngang.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $x = -2$, $x = 1$, $x = 3$. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(|x|)$ với trục hoành là A. 3 B. 4 C. 5 D. 2

Cách 1 — Giải phương trình $f(|x|) = 0$

Đặt $t = |x| \ge 0$. Phương trình thành $f(t)=0$ với $t \ge 0$, cho $t = 1$ và $t = 3$ (loại $t=-2$ vì $t$ không âm). Mỗi $t>0$ cho hai giá trị $x = \pm t$.

Vậy có $2 \times 2 = 4$ nghiệm. Đáp án B.

Điểm yếu. Cách này đúng và không dài, nhưng nó đòi học sinh nhớ chính xác bước "mỗi $t>0$ cho hai $x$" và nhớ loại nghiệm âm. Trong đề thi, phương án A (giữ nguyên 3) và C (nhân đôi tất cả thành 6 rồi trừ) được đặt ra đúng để bắt hai lỗi đó. Và khi đề đổi sang $y = |f(|x|)|$ hai tầng, lối đại số này rối rất nhanh.

Cách 2 — Biến đổi đồ thị

Quy tắc cho $y=f(|x|)$: giữ phần bên phải $Oy$, bỏ phần bên trái, rồi lấy đối xứng qua $Oy$.

• Ba giao điểm cũ: $x=-2$ (bên trái), $x=1$ và $x=3$ (bên phải).
• Phần bên trái bị xoá → giao điểm $x=-2$ biến mất.
• Phần bên phải giữ nguyên → còn $x=1$, $x=3$.
• Lấy đối xứng phần bên phải qua $Oy$ → thêm $x=-1$, $x=-3$.

Tổng cộng bốn giao điểm: $x = \pm 1$, $x = \pm 3$. Đáp án B, và kết luận đến từ việc nhìn, không phải giải.

	Giải phương trình	Biến đổi đồ thị
Cần nhớ gì	đặt ẩn phụ, điều kiện $t\ge0$, nhân đôi nghiệm	một câu: giữ phải, bỏ trái, lấy đối xứng
Khi đề cho ĐỒ THỊ, không cho công thức	khó áp dụng	áp dụng trực tiếp
Biến đổi hai tầng	rối nhanh	làm lần lượt từng tầng
Nguy cơ	quên loại nghiệm âm	vẽ nhầm chiều lật

⭐ Quy tắc đếm nhanh cho dạng này: với $y=f(|x|)$, số giao điểm với $Ox$ bằng $2 \times (\text{số nghiệm dương của } f) + (1 \text{ nếu } f(0)=0)$. Ở bài trên: $2 \times 2 + 0 = 4$.

Phần 4. Góc giáo viên

Nhóm nội dung này phục vụ trực tiếp năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học cùng năng lực giao tiếp toán học: học sinh chuyển qua lại giữa biểu thức và hình ảnh.

• Dạy bảng sáu phép biến đổi trước khi dạy khảo sát hàm số. Khi tới bài khảo sát, học sinh đã có sẵn công cụ đọc đồ thị.
• Dùng phần mềm vẽ đồ thị cho học sinh tự kéo tham số và quan sát. Mười phút thao tác thay được nửa tiết giảng về dấu.
• Ra bài tập chỉ hỏi số nghiệm, không hỏi nghiệm. Đây là dạng đánh giá năng lực tốt: không tính được bằng máy, phải lập luận trên hình.

Bẫy đề thi. Ba bẫy hay gặp: nhầm $|f(x)|$ với $f(|x|)$; quên rằng $f(kx)$ với $k>1$ là co chứ không phải dãn; và thứ tự khi có nhiều phép — $f(2x-4)$ phải viết lại thành $f\big(2(x-2)\big)$ mới thấy đúng là dịch phải 2, không phải 4.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đồ thị $y=f(x)$ có đỉnh tại $(1; -4)$. Tìm toạ độ đỉnh của đồ thị $y = -f(x+3) + 2$.

Gợi ý: bên trong $(x+3)$ → dịch trái 3, đỉnh về $(-2;-4)$. Lật qua $Ox$ → $(-2; 4)$. Dịch lên 2 → $(-2; 6)$. Đáp án: $(-2; 6)$.

Bài 2. Cho $f(x)$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm $x=-1$ và $x=4$. Hỏi đồ thị $y=|f(x)|$ và đồ thị $y=f(|x|)$ mỗi đồ thị cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Gợi ý: $|f(x)|$ không đổi vị trí giao điểm, chỉ lật phần âm lên. $f(|x|)$ thì bỏ phần bên trái, nhân đôi nghiệm dương. Đáp án: $y=|f(x)|$ có 2 điểm; $y=f(|x|)$ có 2 điểm ($x=\pm 4$).

---

Dạng biến đổi đồ thị chỉ thành phản xạ khi học sinh gặp đủ các cặp dễ lẫn. Thầy cô có thể dựng bộ đề đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết, và xem tỷ lệ chọn từng phương án — với bài trên, tỷ lệ chọn A chính là tỷ lệ lớp còn nhầm $f(|x|)$ với $|f(x)|$. Dùng thử miễn phí tại đây.

---