Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Theo công thức cộng $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

b) Sai. Áp dụng công thức cộng:

$\sin {31^0}.\cos {12^0} + \cos {12^0}.\sin {31^0} = \sin \left( {{{31}^0} + {{12}^0}} \right) = \sin {43^0}$.

c) Đúng. Ta có ${\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}$$\Rightarrow \sin x = - \frac{3}{5}$.

Vậy $\sin 2x = 2\sin x.\cos x = 2.\frac{4}{5}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}$.

d) Sai. Đặt ${\cos ^2}\alpha = t \Rightarrow \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}{a} + \frac{{{t^2}}}{b} = \frac{1}{{a + b}}$

$\Leftrightarrow b{\left( {1 - t} \right)^2} + a{t^2} = \frac{{ab}}{{a + b}}$$\Leftrightarrow a{t^2} + b{t^2} - 2bt + b = \frac{{ab}}{{a + b}}$

$\Leftrightarrow \left( {a + b} \right){t^2} - 2bt + b = \frac{{ab}}{{a + b}}$$\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2}{t^2} - 2b\left( {a + b} \right)t + {b^2} = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{b}{{a + b}}$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha = \frac{b}{{a + b}};\,{\sin ^2}\alpha = \frac{a}{{a + b}}$.

Vậy: $\frac{{{{\sin }^8}\alpha }}{{{a^3}}} + \frac{{{{\cos }^8}\alpha }}{{{b^3}}} = \frac{a}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}} + \frac{b}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}} = \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}.$