Với giá trị nào của $x$ thì $A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Phương pháp giải:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức $A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}$ ta cần biến đổi A thành dạng ${(P(x))^2} + Q$, khi đó $GTNN\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}Q$.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:

${x^2} + 4x + 4 \ne 0 \\ {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \\ x \ne - 2$

$\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{{2x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 - \frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}} + {\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}$

Ta có:

${\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \\ {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x$

hay $A \ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0$

$\frac{2}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$x = 2$ (thỏa mãn)

Vậy $A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ tại $x = 2$