Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,4% và một loại xét nghiệm Y mà tỉ lệ…

Phương pháp giải:

a) A là biến cố "Người được chọn không mắc bệnh X" nên $\overline{A}$ là biến cố: Người được chọn mắc bệnh X", dựa vào đầu bài tính được $P(A), P(\overline{A})$.

b) Biến cố B|A nghĩa là "Người được chọn phản ứng dương tính khi không mắc bệnh" và biến cố $B|\overline{A}$ nghĩa là "Người được chọn có phản ứng dương tính khi mắc bệnh", theo đầu bài tính được $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$.

c) Sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính $P(B)$.

d) Sử dụng công thức Bayes để tính biến cố $P(\overline{A}\left| B \right.)$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Tỉ lệ người mắc bệnh $X$ là $0,4\%$, do đó tỉ lệ người không mắc bệnh là $1 - 0,4\% = 99,6\%$. Do đó, $P(A) = \dfrac{99,6}{100}$ và $P(\overline{A}) = \dfrac{0,4}{100}$.

b) Đúng.

+ $P(B|A)$: Xác suất có phản ứng dương tính khi không mắc bệnh là 5%, do đó $P(B|A) = \dfrac{5}{100}$.
+ $P(B|\overline{A})$: Xác suất có phản ứng dương tính khi mắc bệnh là 98%, do đó $P(B|\overline{A}) = \dfrac{98}{100}$.

c) Sai. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})$.

$P(B) = \dfrac{5}{100} . \dfrac{99,6}{100} + \dfrac{98}{100} . \dfrac{0,4}{100} = \dfrac{1343}{25000}$.

d) Đúng. Theo công thức Bayes:

$P(\overline{A}|B) = \dfrac{P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})}{P(B)}$

$= \dfrac{\dfrac{98}{100} . \dfrac{0,4}{100}}{\dfrac{1343}{25000}}= \dfrac{98}{1343}$.