Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $\Delta ABC$ với A(-2; 5), B(-4; -2), C(1; 5). Các khẳng định sau đây là đúng…

Phương pháp giải:

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$.

c) Nếu $\overrightarrow a = (x;y)$ thì $\left| {\overrightarrow a} \right| = \sqrt {\overrightarrow a.\overrightarrow a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

d) Cho $\overrightarrow u (x;y)$ và $\overrightarrow v = (x';y')$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 7)$, $\overrightarrow {AC} = (3;0)$. Khi đó:

$\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( { - 2.2 + 3; - 7.2 + 0} \right) = \left( { - 1; - 14} \right)$.

b) Sai. $G = \left( {\frac{{ - 2 - 4 + 1}}{3};\frac{{5 - 2 + 5}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

c) Đúng. $AB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow CG = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {113} }}{3}$.

${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CG} }}{{AB.CG}} = \frac{{ - 2.\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}}{{\sqrt {53} .\frac{{\sqrt {113} }}{3}}} \approx 0,84$.