Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C):\,\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} = 25$ và…

Phương pháp giải:

Áp dụng các phép toán tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {u}(3; 4)$.

b) Đúng. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 2)$, bán kính $R = 5$.

c) Đúng.

Cách 1: Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\Delta : 3x + 4y + 14 = 0$ vuông góc với đường thẳng $d$.

Lại có

$d_{(I,\Delta)} = \frac{|3.1 + 4.2 + 14|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 = R$ nên $\Delta$ là một tiếp tuyến của (C).

Cách 2: Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) và vuông góc với $d$. Khi đó $\Delta : 3x + 4y + c = 0$.

Vì $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) nên

$d_{(I,\Delta)} = R \Leftrightarrow \frac{|3.1 + 4.2 + c|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 \Leftrightarrow \begin{cases} c = 14 \\ c = -36 \end{cases}$

d) Đúng.

Vì (C') tâm $I'(1; -1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là

$R' = d_{(I',d)} = \frac{|4.1 - 3.(-1) + 3|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = 2$.

Phương trình của đường tròn (C') tâm $I'(1; -1)$, bán kính $R' = 2$ là

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

$(C')$ tâm $I'(1; -1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là $R' = d_{(I',d)} = \frac{|4.1 - 3.(-1) + 3|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = 2$.