Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\Delta:\, 3x - 4y + 3 = 0$ và elip (E): $\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{9} =…

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Theo tính chất Elip: $MF_1 + MF_2 = 2a = 2 . 4 = 8$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 8\\M{F_1} + 2M{F_2} = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 5\\M{F_2} = 3\end{array} \right.$

Vậy $2M{F_1} + M{F_2} = 2.5 + 3 = 13$.

b) Đúng. Bán kính đường tròn là khoảng cách từ A đến $\Delta$:

$R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4( - 1) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2$.

Vậy phương trình đường tròn là $\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 1} \right)^{2} = 4$.

c) Sai. Một vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (3; - 4)$, suy ra một vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = (4;3)$, không cùng phương với $\overrightarrow u = ( - 4;3)$ nên $\overrightarrow u = ( - 4;3)$ không phải vecto chỉ phương của $\Delta$.

d) Đúng. Vecto pháp tuyến của d là $\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} = 3.4 - 4.3 = 0$ nên $\Delta$ vuông góc với d.