Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ $O$ . Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ . Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(5;10;4)$ đến vị trí $N(14;-2;4)$ . Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

$\overrightarrow{MN} = (9; -12; 0)$ .. · Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 50 mét.. · Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(8;6;4)$ ..

Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu…

Câu 1Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng
Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ $O$ . Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ . Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(5;10;4)$ đến vị trí $N(14;-2;4)$ . Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.
a
$\overrightarrow{MN} = (9; -12; 0)$ ..
b
Phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\begin{cases} x = 5 + 3t \\ y = 10 - 4t \\ z = 0 \end{cases}$ với $t \in \mathbb{R}$ ..
c
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 50 mét..
d
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(8;6;4)$ ..
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
a) Đúng. $\overrightarrow{MN} = (14 - 5;\ -2 - 10;\ 4 - 4) = (9;-12;0)$ .
b) Sai. Đường thẳng $MN$ có vectơ chỉ phương $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MN} = (3;-4;0)$ và đi qua $M(5;10;4)$ nên phương trình tham số là $\begin{cases} x = 5 + 3t \\ y = 10 - 4t \\ z = 4 \end{cases}$ (không phải $z = 0$ ).
c) Đúng. Vành đai: $x^2 + y^2 = 7^2$ trong $(Oxy)$ . Vị trí máy bay $A(5 + 3t;\ 10 - 4t;\ 4)$ có hình chiếu $A'(5 + 3t;\ 10 - 4t;\ 0)$ trên $(Oxy)$ , chạy trên đường thẳng $M'N'$ : $4x + 3y - 50 = 0$ . Ta có $d(O, M'N') = \dfrac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 50|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 10 > 7$ nên $A'$ nằm ngoài vành đai. Khoảng cách từ $A$ đến vành đai là $AB_{\min} = AB_1 = \sqrt{AA'^2 + (A'O - 7)^2} = \sqrt{16 + \left(\sqrt{25t^2 - 50t + 125} - 7\right)^2}$ . Hàm số $y = 25t^2 - 50t + 125$ đạt giá trị nhỏ nhất là $100$ khi $t = 1$ nên $AB_{\min}$ nhỏ nhất bằng $5$ khi $t = 1$ . Vậy khoảng cách ngắn nhất là $50$ mét.
d) Đúng. Khi $t = 1$ , tọa độ máy bay là $(8;6;4)$ .
Báo lỗi

Câu này thuộc đềToán — THPT Quốc gia lần 1 2026 (mã đề 0101)