Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ $O$ . Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng 6 đơn vị (tương ứng 60 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ . Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(2;11;3)$ đến vị trí $N(14;2;3)$ . Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

$\overrightarrow{MN} = (12; -9; 0)$ . · Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(6;8;3)$ .

Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu…

Câu 1Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng
Trong không gian xét hệ tọa độ $Oxyz$ có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ $O$ . Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng 6 đơn vị (tương ứng 60 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ . Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(2;11;3)$ đến vị trí $N(14;2;3)$ . Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.
a
$\overrightarrow{MN} = (12; -9; 0)$ .
b
Phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 11 - 3t \\ z = 0 \end{cases}$ với $t \in \mathbb{R}$ .
c
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 100 mét.
d
Trong quá trình bay từ $M$ đến $N$ , khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(6;8;3)$ .
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Sai · d) Đúng
Đường tròn vành đai $(C)$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $\begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ z = 0 \end{cases}$ .
a) Đúng. $\overrightarrow{MN} = (14-2;\, 2-11;\, 3-3) = (12;-9;0)$ .
b) Sai. Đường thẳng $MN$ đi qua $M(2;11;3)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{MN} = (4;-3;0)$ . Phương trình tham số là $\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 11 - 3t \\ z = 3 \end{cases}$ $(t \in \mathbb{R})$ . Theo phương án đưa ra, tọa độ $z = 0$ là sai.
c) Sai. Vị trí máy bay $P \in MN$ có tọa độ dạng $P(2+4t;\, 11-3t;\, 3)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ thì $H(2+4t;\, 11-3t;\, 0)$ . Khoảng cách từ $P$ đến vành đai $(C)$ nhỏ nhất khi điểm đó nằm trên $(C)$ và thuộc đường thẳng $OH$ (gọi là điểm $K$ ), khi đó $d = \sqrt{PH^2 + (|OH| - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (|OH| - 6)^2}$ . Ta có $|OH| = \sqrt{(2+4t)^2 + (11-3t)^2} = \sqrt{25t^2 - 50t + 125} = \sqrt{25(t-1)^2 + 100} \ge 10$ . Dấu "=" xảy ra khi $t = 1$ , khi đó $|OH|_{\min} = 10$ . Suy ra $d_{\min} = \sqrt{3^2 + (10-6)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ (đơn vị). Trên thực tế, mỗi đơn vị tương ứng $10$ mét nên khoảng cách ngắn nhất là $5 \times 10 = 50$ mét (phát biểu nói $100$ mét là sai).
d) Đúng. Theo chứng minh trên, khoảng cách ngắn nhất đạt được khi $t = 1$ . Thay $t = 1$ vào phương trình tham số của điểm $P$ , ta được tọa độ máy bay là $(6;8;3)$ .
Báo lỗi

Câu này thuộc đềToán — THPT Quốc gia lần 1 2026 (mã đề 0102)