Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( {1; - 2;0} \right)$ , $B\left( {- 3;1;1} \right)$ ,…

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3 - 1;1 - \left( { - 2} \right);1 - 0} \right) = \left( { - 4;3;1} \right)$;

$\overrightarrow {AC} = \left( {3 - 1; - 1 - \left( { - 2} \right);1 - 0} \right) = \left( {2;1;1} \right)$.

b) Đúng.
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 4}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 4}&3\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;6; - 10} \right)$.

Do đó, một vecto pháp tuyến của (ABC) là $\vec n = \frac{1}{2}\vec u = \left( {1;3; - 5} \right)$.

c) Đúng. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; -2; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;3; - 5} \right)$:

$1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z - 0} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y - 5z + 5 = 0$.

d) Đúng. $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {ABC} \right)$ nên $a + 3b - 5c + 5 = 0$ (1)

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b + 2;c} \right)$.

Vì $MA\parallel \left( {Oyz} \right)$ nên $\overrightarrow {AM} .\vec i = 0 \Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1$.

Thay a = 1 vào phương trình (1):

$1 + 3b - 5c + 5 = 0 \Leftrightarrow 3b = 5c - 6$ (2)

Ta có $MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2}$

${\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2} = 16 + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 3b + c - 7 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) tính được $b = \frac{{29}}{{18}}$, $c = \frac{{13}}{6}$.

Vậy $T = 1 + 18\left( {\frac{{29}}{{18}}} \right) + 6\left( {\frac{{13}}{6}} \right) = 43$.