Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;3;0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (2; - 2;1)$ , hướng chuyển động cùng chiều với hướng vectơ $\overrightarrow u$ với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$ . · Giả sử sau thời gian t (giây) kể từ khi xuất phát $(t \ge 0)$ , cabin đến điểm M. Khi đó, tọa độ điểm M là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;3;0) và chuyển động đều theo đường cáp…

1Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;3;0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (2; - 2;1)$ , hướng chuyển động cùng chiều với hướng vectơ $\overrightarrow u$ với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét).
a
Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$ .
b
Giả sử sau thời gian t (giây) kể từ khi xuất phát $(t \ge 0)$ , cabin đến điểm M. Khi đó, tọa độ điểm M là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$ .
c
Cabin dừng ở điểm B có hoành độ ${x_B} = 550$ , khi đó quãng đường AB dài 800 m.
d
Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc ${30^o}$ .
Đáp án đúng: Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$. · Giả sử sau thời gian t (giây) kể từ khi xuất phát $(t \ge 0)$, cabin đến điểm M. Khi đó, tọa độ điểm M là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.
Phương pháp giải:
Đường thẳng đi qua điểm $M({x_0};{y_0};{z_0})$ , nhận vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$ .
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(10;3;0) và nhận vecto $\overrightarrow u = (2; - 2;1)$ làm vecto chỉ phương: $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$ .

b) Đúng. M thuộc d nên tọa độ của M là $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 10 + 2{t_M}\\{y_M} = 3 - 2{t_M}\\{z_M} = {t_M}\end{array} \right.$ . Từ đó ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {10 + 2{t_M} - 10;3 - 2{t_M} - 3;{t_M} - 0} \right) = \left( {2{t_M}; - 2{t_M};{t_M}} \right)$ .

Suy ra $AM = \sqrt {{{(2{t_M})}^2} + {{( - 2{t_M})}^2} + {{({t_M})}^2}} = 3{t_M}$ .

Theo giả thiết, cabin đi từ A với vận tốc 4,5 m/s trong t giây thì đến M nên AM = 4,5t (m).

Do đó, $3{t_M} = 4,5t \Leftrightarrow {t_M} = 1,5t$ .

Thay vào tọa độ điểm M, ta được $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 10 + 2.1,5t\\{y_M} = 3 - 2.1,5t\\{z_M} = 1,5t\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( {10 + 3t;3 - 3t;\frac{3}{2}t} \right)$ .

c) Sai. Từ câu b), ta tìm được tọa độ $\left( {10 + 3t;3 - 3t;\frac{3}{2}t} \right)$ là vị trí của cabin sau t giây.

Áp dụng với điểm B, giả sử sau ${t_B}$ giây thì cabin đến vị trí B, khi đó $B\left( {10 + 3{t_B};3 - 3{t_B};\frac{3}{2}{t_B}} \right)$ .

Theo giả thiết, ${x_B} = 550$ nên $10 + 3{t_B} = 550 \Leftrightarrow {t_B} = 180$ .

Quãng đường AB là $AB = v.{t_B} = 4,5.180 = 810$ (m).

d) Sai. Vecto chỉ phương của đường cáp là $\overrightarrow u = (2; - 2;1)$ , vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow n = (0;0;1)$ nên ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{2.0 - 2.0 + 1.1}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}$ với $\alpha$ là góc giữa đường cáp và mặt phẳng (Oxy).

Suy ra $\alpha \approx {19^o}$ .
Báo lỗi

Câu này thuộc đềĐề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1