Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 2 = 0 và điểm I(-1;2;-1). Biết mặt cầu (S) có tâm…

Phương pháp giải:

a) Từ diện tích đường tròn, tìm bán kính.

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

c) H là tâm đường tròn (C) nên H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).

Lập phương trình đường thẳng IH, mà H thuộc (P) nên lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm H.

d) Áp dụng định lí Pythagore tìm bán kính mặt cầu rồi lập phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Đường tròn (C) có diện tích là $25\pi$ nên bán kính là r = 5.

b) Đúng. $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.\left( { - 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3$.

c) Sai. H là tâm đường tròn (C) nên H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng IH là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$.

Vì H thuộc IH và mặt phẳng (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 1 + 2t\\x - 2y + 2z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;0;1} \right)$.

d) Sai. Bán kính R của mặt cầu là ${R^2} = {r^2} + I{H^2} \Leftrightarrow R = \sqrt {{r^2} + I{H^2}} = \sqrt {{5^2} + {3^2}} = \sqrt {34}$.

Phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;-2;1) bán kính $R = \sqrt {34}$ là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 34$.