Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2), B(-2; 1; -3).

Phương pháp giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto, phương trình mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. (P) // (Oxy) $\Rightarrow (P): z + d = 0$.

$A(1; -3; 2) \in (P) \Rightarrow d = -2$.

$\Rightarrow (P): z - 2 = 0$.

b) Đúng. Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Sai. $BH = d(B; (P)) = 5$, $AB = 5\sqrt{2}$, $AH = \sqrt{AB^2 - HB^2} = 5$.

d) Sai. Nhận xét: A, B khác phía đối với mặt phẳng (Oxy).

Gọi K là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho AMNK là hình bình hành.

$|AM - BN| = |AM - B'N| = |KN - B'N| \leq KB'$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow B'$ thuộc đoạn thẳng KN.

$KB' = \sqrt{B'H^2 + HK^2} \leq \sqrt{B'H^2 + (HA + AK)^2}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow A$ thuộc đoạn thẳng KH.

$B'H = d(B'(P)) = 1$; HA = 5; AK = MN = 1

$\Rightarrow |AM - BN| \leq KB' \leq \sqrt{1^2 + (5+1)^2} = \sqrt{37}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ A thuộc đoạn thẳng KH và B' thuộc đoạn thẳng KN. Tìm được K $\Rightarrow$ xác định được M, N.