Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = - 2 + t} \\ {y = 2t} \\…

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì $I \in \Delta$ nên $I( - 2 + t,2t,1 - 3t)$.

$OI = \sqrt {{{( - 2 + t)}^2} + {{(2t)}^2} + {{(1 - 3t)}^2}} = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow {( - 2 + t)^2} + 4{t^2} + {(1 - 3t)^2} = 5$

$\Leftrightarrow 4 - 4t + {t^2} + 4{t^2} + 1 - 6t + 9{t^2} = 5$

$\Leftrightarrow 14{t^2} - 10t = 0$.

Giải phương trình ta được: $t = 0$ hoặc $t = \frac{5}{7}$.

Vậy có hai điểm I thỏa mãn là ${I_1}( - 2;0;1)$ và ${I_2}\left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{8}{7}} \right)$.

b) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên $\Delta$. Vì d cắt và vuông góc với $\Delta$ tại H, nên d chính là đường thẳng MH.

$H \in \Delta \Rightarrow H( - 2 + t,2t,1 - 3t)$.

$\overrightarrow {MH} = ( - 4 + t,2t + 2, - 3t)$.

Vì $MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0$:

$1.( - 4 + t) + 2.(2t + 2) - 3.( - 3t) = 0$

$\Leftrightarrow - 4 + t + 4t + 4 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.

Với t = 0, ta có H(-2; 0; 1).

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow {MH} = ( - 4;2;0)$; chọn vectơ cùng phương là $\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;0)$.

Đối chiếu với phương trình đề bài cho có tọa độ vectơ chỉ phương là (2; -2; 0); không cùng phương với vectơ có tọa độ (2; -1; 0).

c) Đúng. $\Delta '$ song song với $\Delta$ nên có cùng vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)$; $\Delta '$ đi qua M(2; -2; 1) nên phương trình chính tắc:

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - ( - 2)}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}$.

d) Đúng. Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)$.