Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 6; -7), B(3; 2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y – 3z – 14 = 0.

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

b) Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm vecto pháp tuyến.

d) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n (2;1; - 3)$.

b) Đúng. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

$2(x - 3) + (y - 2) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 5 = 0$.

c) Đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua trung điểm $I(2;4; - 3)$ của đoạn $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB} (2; - 4;8)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0$.

d) Sai. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: $\frac{{\left| {2.1 + 6 - 3.( - 7) - 14} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{15}}{{\sqrt {14} }}$.