Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A\left( {5;1;3} \right);\, B\left( {4;2;3} \right);\, C\left( {5;0;3} \right)$ .

Phương pháp giải:

a) Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

b) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Độ dài vecto $\overrightarrow {AB}$ hay khoảng cách từ A đến B là: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

c) Để tính góc $\alpha$ giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, ta sử dụng công thức:

$\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

d) Áp dụng công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = (4 - 5;2 - 1;3 - 3) = ( - 1;1;0)$, $\overrightarrow {AC} = (5 - 5;0 - 1;3 - 3) = (0; - 1;0)$.

b) Sai. $AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2$, $AC = \sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {0^2}} = 1$.

c) Sai. $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 1.0 + 1.( - 1) + 0.0}}{{\sqrt 2 .1}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {135^o}$.

d) Đúng. ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .1.\sin {135^o} = \frac{1}{2}$.