Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-3;0;1), B(0;-2;-3), C(0;0;3), D(-3;1;1). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện…

Phương pháp giải:

Gọi (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Thay tọa độ các điểm thuộc (S) vào phương trình, ta được hệ phương trình, giải hệ tìm a, b, c, d.

a) Hình chiếu của M(a;b;c) trên Oy là M’(0;b;0).

b) $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

c) $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

d) Thay tọa độ tâm mặt cầu (S) vào phương trình của d. Nếu thỏa mãn thì d đi qua I.

Lời giải chi tiết:

Gọi (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

(S) đi qua A(-3;0;1), B(0;-2;-3), C(0;0;3), D(-3;1;1) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}6a - 2c + d = - 10\\4b + 6c + d = - 13\\ - 6c + d = - 9\\6a - 2b - 2c + d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = \frac{1}{2}\\c = - \frac{1}{2}\\d = - 12\end{array} \right.$

Suy ra tâm mặt cầu (S) là $I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

a) Đúng. Hình chiếu của $I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$ lên trục Oy là $I\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)$.

b) Sai.$OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {19} }}{6}$.

c) Đúng. $R = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - ( - 12)} = \frac{{\sqrt {451} }}{6}$.

d) Sai. Ta có $\frac{{\frac{1}{6} - 1}}{2} \ne \frac{{\frac{1}{2}}}{1} \ne \frac{{ - \frac{1}{2} - 2}}{3}$ nên I không thuộc d, hay d không đi qua I.