Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;-3;3), B(-2;1;2), C(3;-1;2).

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = ( - 2 - 1;1 + 2;2 - 3) = ( - 3;3; - 1)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AC} = (3 - 1; - 1 + 2;2 - 3) = (2;1; - 1)$, suy ra $3\overrightarrow {AC} = (6;3; - 3) \ne \overrightarrow {AB}$.

c) Đúng. Ta thấy $\frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{3}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}$ suy ra $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương. Vậy A, B, C không thẳng hàng.

d) Sai. Gọi A’(x;y;z) là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0$ (1) và $\overrightarrow {BC}$, $\overrightarrow {BA'}$ cùng phương (2).

Ta có $\overrightarrow {AA'} = (x - 1;y + 2;z - 3)$, $\overrightarrow {BC} = (3 + 2; - 1 - 1;2 - 2) = (5; - 2;0)$, $\overrightarrow {BA'} = (x + 2;y - 1;z - 2)$.

(1) $\Leftrightarrow 5(x - 1) - 2(y + 2) + 0(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y = 9$.

(2) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}}\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 1\\z = 2\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{29}}\\y = - \frac{{13}}{{29}}\\z = 2\end{array} \right.$, hay $A'\left( {\frac{{47}}{{29}}; - \frac{{13}}{{29}};2} \right)$.