Trong các dãy số $\left( u_{n} \right)$ được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Phương pháp giải:

Dãy số $u_{n}$ là dãy số tăng nếu $u_{n+1} - u_n \gt 0$.

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: Do thừa số ${\left( { - 1} \right)^{n + 1}}$ thay đổi dấu đan xen giữa dương và âm khi n tăng dần nên dãy số không tăng, không giảm.

Xét đáp án B: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}$

$= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{({n^2} + 2n + 2)({n^2} + 1)}} \lt 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số giảm.

Xét đáp án C: ${u_n} = {( - 1)^{2n}}({5^n} + 1) = {5^n} + 1$.

${u_{n + 1}} - {u_n} = ({5^{n + 1}} + 1) - ({5^n} + 1) = {4.5^n} \gt 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số tăng.

Xét đáp án D: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{(n + 1) + 2}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{{ - 1}}{{(n + 3)(n + 2)}} \lt 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số giảm.