Tìm số tự nhiên $x$ để $D = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ có giá trị là một số nguyên.

Phương pháp giải:

- Đầu tiên ta tách biểu thức đã cho về dạng một số nguyên cộng với một phân thức có tử là một số nguyên.

- Để $D$ là một số nguyên thì phân thức được tách phải là số nguyên hay tử phải chia hết cho mẫu, hay mẫu là ước của tử.

- Từ đó tìm ra $x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $D = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ $= \dfrac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}}$ $= 1 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}$

Để $D \in Z$ thì $\left( {\sqrt x + 2} \right)$ phải thuộc $Z$ và là ước của $5.$

Vì $\left( {\sqrt x + 2} \right) \gt 0$ nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\sqrt x + 2 = 1$ suy ra $\sqrt x = - 1$ (vô lý)

Trường hợp 2: $\sqrt x + 2 = 5$ suy ra $\sqrt x = 3$ do đó $x = 9$(thỏa mãn).

Vậy để $D \in Z$ thì $x = 9$ (khi đó $D = 0$).