Tìm số tự nhiên n lớn nhất có $3$ chữ số sao cho $n$ chia $8$ dư $7,$ chia $31$ dư $28.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vì $n$ chia $8$ dư $7,$ chia $31$ dư $28$ nên:
$\left( {n - 7} \right) \vdots 8$ và $\left( {n - 28} \right) \vdots 31$ $\left( {n \gt 28} \right)$
Bước 2 : Biến đổi tìm số tự nhiên $m$ sao cho $\left( {n + m} \right) \vdots 8$ và $\left( {n + m} \right) \vdots 31$
Khi đó $\left( {n + m} \right) \vdots BCNN\left( {8;31} \right)$
Bước 3: Tìm các giá trị của $n$
Chọn giá trị của $n$ thỏa mãn $n$ là số lớn nhất có $3$ chữ số

Lời giải chi tiết:

Vì $n$ chia $8$ dư $7$ nên $\left( {n - 7} \right) \vdots 8\,\,\,\,\left( {n \gt 7} \right)$
$\Rightarrow n = 8a + 7$ với $a \in \mathbb{N}$$\Rightarrow \left( {n + 1} \right) \vdots 8$

Vì $n$ chia $31$ dư $28$ nên $\left( {n - 28} \right) \vdots 31\left( {n \gt 28} \right)$ $\Rightarrow n = 31b + 28$ $\left( {b \in \mathbb{N}} \right)$
$\Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 31$
Vì $64 \vdots 8$ nên $\left( {n + 1 + 64} \right) \vdots 8$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 8\left( 1 \right)$
Vì $62 \vdots 31$ $\Rightarrow \left( {n + 3 + 62} \right) \vdots 31$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 31$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots$$BCNN\left( {8;31} \right)$
$\Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots 248$
$\Rightarrow n = 248k - 65$ $\left( {k \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$
Với $k = 1$ $\Rightarrow n = 248.1 - 65 = 183$
Với $k = 2 \Rightarrow n = 248.2 - 65 = 431$
Với $k = 3 \Rightarrow n = 248.3 - 65 = 679$
Với $k = 4 \Rightarrow n = 248.4 - 65 = 927$
Với $k = 5 \Rightarrow n = 248.5 - 65 = 1175$ (loại)
Vì $n$ là số lớn nhất có $3$ chữ số nên $n = 927.$