Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x + sin3x, biết $F(0) = \dfrac{2}{3}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nguyên hàm của hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác:

+ $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$.

+ $\int {\sin xdx} = - \cos x + C$.

Giải $F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$ tìm C và kết luận.

Lời giải chi tiết:

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right){\rm{d}}x} = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C = F\left( x \right)$.

$F\left( 0 \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 0 - \frac{1}{3}.1 + C = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1$.