Tìm hai số tự nhiên $a,b\left( {a \lt b} \right).$ Biết $a + b = 20,BCNN\left( {a,b} \right) = 15.$

Phương pháp giải:

Gọi ƯCLN$\left( {a,b} \right) = d$
Tìm $d \in$ ƯC$\left( {15;20} \right)$ sau đó thay $d$ vào công thức $a.b =$ƯCLN$\left( {a,b} \right).BCNN\left( {a,b} \right),$ kết hợp điều kiện $a + b = 20$ để tìm $a$ và $b$.

Lời giải chi tiết:

Gọi ƯCLN$\left( {a,b} \right) = d$ $\Rightarrow a = d.m,b = d.n;\left( {m,n} \right) = 1$
$\Rightarrow a + b = d\left( {m + n} \right)$ $\Rightarrow d \in$ Ư$\left( {a + b} \right)$ hay $d \in$Ư$\left( {20} \right)$
Vì $BCNN\left( {a,b} \right) = 15$ $\Rightarrow 15 \vdots d$ hay $d \in$Ư$\left( {15} \right)$
$\Rightarrow d \in$ ƯC$\left( {15;20} \right)$
Mà ƯCLN$\left( {15;20} \right) = 5$ nên $d = 1$ hoặc $d = 5$
+) Nếu $d = 1 \Rightarrow a.b = 1.15 = 15 = 3.5$
Khi đó $a + b = 3 + 5 = 8$ (loại)
Hoặc $a + b = 1 + 15 = 16$ (loại)
+) Nếu $d = 5$ thì $a.b = 5.15 = 75 = 1.75$
Khi đó $a + b = 15 + 5 = 20$ (thỏa mãn)
Hoặc $a + b = 1 + 75 = 76$ (loại)
Vậy hai số cần tìm là $a = 5;b = 15.$