Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}$

Phương pháp giải:

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}$ cần tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức ${x^2} - 6x + 10$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 6x + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1$

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\forall x$ nên ${\left( {x - 3} \right)^2} + 1 \ge 1\forall x$ hay ${x^2} - 6x + 10 \ge 1\forall x$

$\Rightarrow \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}} \le \frac{5}{1} = 5 \Leftrightarrow A \le 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy với $x = 3$ thì $A$ đạt giá trị lớn nhất là 5.