Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}$

Phương pháp giải:

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}$ cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu thức ${x^2} - 2x + 5$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4$

Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x$ nên ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\forall x$ hay ${x^2} - 2x + 5 \ge 4$

$\Rightarrow \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}} \le \frac{{16}}{4} \Leftrightarrow A \le 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy với $x = 1$ thì $A$ đạt giá trị lớn nhất là 4.