Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2}

Phương pháp giải:

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } f(x) = {y_0}$ .

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = {\rm{\;}} + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = {\rm{\;}} - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = {\rm{\;}} + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = {\rm{\;}} - \infty$ .

Lời giải chi tiết:

Tiệm cận ngang:

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 2} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {x - \frac{4}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x - \frac{4}{x}}}$ .

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} = \sqrt 1 = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \frac{4}{x}} \right) = + \infty$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x - \frac{4}{x}}} = 0$ .

Vậy đồ thị có tiệm cận ngang là y = 0.

Tiệm cận đứng:

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}}$ không xác định nên x = 2 không phải tiệm cận đứng.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }}{{{x^2} - 4}} = + \infty$ nên x = -2 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là x = -2.