Số các số nguyên $x$ để $\dfrac{{5x}}{3}:\dfrac{{10{x^2} + 5x}}{{21}}$ có giá trị là số nguyên là:

Phương pháp giải:

- Rút gọn biểu thức đã cho.

- Biểu thức $\dfrac{a}{{mx + n}}$ với $a,m,n \in Z$ có giá trị là số nguyên nếu $mx + n \in Ư\left( a \right)$

Lời giải chi tiết:

$\dfrac{{5x}}{3}:\dfrac{{10{x^2} + 5x}}{{21}}$ $= \dfrac{{5x}}{3}.\dfrac{{21}}{{10{x^2} + 5x}}$ $= \dfrac{{5x.21}}{{3.5x.\left( {2x + 1} \right)}}$ $= \dfrac{7}{{2x + 1}}$

Để biểu thức đã cho có giá trị là số nguyên thì $\dfrac{7}{{2x + 1}}$ nguyên

Do đó $2x + 1 \in Ư\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}$

Ta có bảng:

Vậy $x \in \left\{ {0; - 1;3; - 4} \right\}$ suy ra có $4$ giá trị thỏa mãn.