Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}$ ta được các…

Phương pháp giải:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm các mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right);\,3x + 3 = 3\left( {x + 1} \right);\,2{x^2} - 2x + 2 = 2\left( {{x^2} - x + 1} \right)$ và $BCNN\left( {2;3} \right) = 6$ nên mẫu thức chung của các phân thức $\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}$ là $6\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 6\left( {{x^3} + 1} \right)$.

Nhân tử phụ của $\frac{1}{{{x^3} + 1}}$ là $6$. $\Rightarrow \frac{1}{{{x^3} + 1}} = \frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{{3x + 3}}$ là $2\left( {{x^2} - x + 1} \right)$. $\Rightarrow \frac{2}{{3x + 3}} = \frac{{2.2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$

Nhân tử phụ của $\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}$ là $3\left( {x + 1} \right)$. $\Rightarrow \frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{x.3\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$