Một tam giác có độ dài ba đường cao là 4,8cm ; 6cm ; 8cm. Tam giác đó là tam giác gì?

Phương pháp giải:

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC $\left( {a,b,c,S \gt 0} \right)$. Chứng minh ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC $\left( {a,b,c,S \gt 0} \right)$

Ta có: $S = \frac{1}{2}.4,8.a = \frac{1}{6}.6.b = \frac{1}{2}.8.c$ hay $4,8{\rm{a}} = 6b = 8c = 2{\rm{S}}$

Do đó: $a = \frac{{2{\rm{S}}}}{{4,8}} = \frac{{5{\rm{S}}}}{{12}};b = \frac{{2{\rm{S}}}}{6} = \frac{S}{3};c = \frac{{2{\rm{S}}}}{8} = \frac{S}{4}$

Ta có: ${b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}};{a^2} = {\left( {\frac{{5{\rm{S}}}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}}$

Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là 4,8cm