Một sợi dây kim loại dài 6 (cm). Người ta cắt sợi dây thành hai đoạn. Đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn…

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chu vi, diện tích của hình tròn và hình vuông. Lập hàm số biểu diễn tổng diện tích hai hình rồi ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Chu vi đường tròn là $2\pi r = x \Leftrightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}$.

b) Đúng. Chu vi hình vuông là 6 – x, suy ra độ dài cạnh là $\frac{{6 - x}}{4}$.

Diện tích hình vuông là ${\left( {\frac{{6 - x}}{4}} \right)^2}$.

c) Đúng. Diện tích hình tròn là ${S_{tron}} = \pi {\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}$.

Diện tích hình vuông là ${S_{vuong}} = {\left( {\frac{{6 - x}}{4}} \right)^2} = \frac{{36 - 12x + {x^2}}}{{16}}$.

Tổng diện tích hai hình là $S = {S_{tron}} + {S_{vuong}} = \frac{{4{x^2} + 36\pi - 12\pi x + \pi {x^2}}}{{16\pi }} = \frac{{(4 + \pi ){x^2} - 12\pi x + 36\pi }}{{16\pi }}$.

d) Sai. Ta có

$S' = \frac{{2(4 + \pi )x - 12\pi }}{{16\pi }} = 0 \Leftrightarrow 2(4 + \pi )x - 12\pi = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{6\pi }}{{4 + \pi }}$.

Bảng biến thiên:

Vậy khi $x = \frac{{6\pi }}{{4 + \pi }}$ thì tổng diện tích hai hình nhỏ nhất.