Một hình nón có bán kính đáy bằng $2\,cm$ , chiều cao hình nón là $h\,\,\left( {cm} \right)$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức liên hệ giữa đường sinh với bán kính đáy và chiều cao: $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \,\,\,\left( {cm} \right)$

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$.

c) Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón.

d) Tính diện tích mặt cầu. Lập phương trình và giải phương trình tìm h.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng

Đường sinh của hình nón là:

$l = \sqrt {{h^2} + {2^2}} = \sqrt {{h^2} + 4} \,\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Sai

Thể tích của hình nón là:

$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}h = \frac{4}{3}\pi h\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

c) Đúng

Diện tích toàn phần của hình nón là:

${S_{tp}} = \pi .Rl + \pi .{R^2}\, =$$\pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4} + \pi {.2^2}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

d) Đúng

Diện tích mặt cầu là: $4\pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}$

Theo đề bài ta có:

$\pi .2\,.\sqrt {{h^2} + 4} + \pi {.2^2}\,\, = \pi {h^2}$

$2\,.\sqrt {{h^2} + 4} + 4\, = {h^2}$

$2\,.\sqrt {{h^2} + 4} \, = {h^2} - 4\,\,\,\left( {h \gt 2} \right)$

$4\,.\left( {{h^2} + 4} \right)\, = {h^4} - 8\,h{\,^2} + 16\,\left( {h \gt 2} \right)$

$\begin{array}{l}{h^4} - 12{h^2} = 0\\{h^2}\left( {{h^2} - 12} \right) = 0\end{array}$

${h^2} = 0$ hoặc ${h^2} = 12$

suy ra $h = 0\,\,\,\left( L \right)$; $h = - 2\sqrt 3 \,\,\,\left( L \right)$; $h = 2\sqrt 3$ (TM).

Vậy chiều cao của hình nón là $2\,\sqrt 3 \,cm$.

Đáp án: ĐSĐĐ