Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz có $\overset{\rightarrow}{i},\overset{\rightarrow}{j},\overset{\rightarrow}{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm $A$ và $B$ , trong đó điểm $A$ có tọa độ là $(4;4;0)$ . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian $t$ (giây) theo công thức $v(t) = \beta t + 300$ (m/giây), trong đó $\beta$ là hằng số dương và $0 \leq t \leq 6$ . Ở thời điểm ban đầu ( $t = 0$ ), vật đi qua $A$ với tốc độ 300 m/giây và hướng tới $B$ . Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 608 m. Gọi $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ . Biết rằng $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = 1 \right.$ và góc giữa vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ lần lượt với các vectơ $\overset{\rightarrow}{i},\overset{\rightarrow}{j},\overset{\rightarrow}{k}$ có số đo tương ứng bằng $60^{o},60^{o},45^{o}$ .

$a = \cos 60^{o}$ . · Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B(x_{B};y_{B};z_{B})$ . Khi đó $x_{B} = 779$ .

Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz có…

1Đúng/Sai nhiều ý · Vận dụng
Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz có $\overset{\rightarrow}{i},\overset{\rightarrow}{j},\overset{\rightarrow}{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm $A$ và $B$ , trong đó điểm $A$ có tọa độ là $(4;4;0)$ . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian $t$ (giây) theo công thức $v(t) = \beta t + 300$ (m/giây), trong đó $\beta$ là hằng số dương và $0 \leq t \leq 6$ . Ở thời điểm ban đầu ( $t = 0$ ), vật đi qua $A$ với tốc độ 300 m/giây và hướng tới $B$ . Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 608 m. Gọi $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ . Biết rằng $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = 1 \right.$ và góc giữa vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ lần lượt với các vectơ $\overset{\rightarrow}{i},\overset{\rightarrow}{j},\overset{\rightarrow}{k}$ có số đo tương ứng bằng $60^{o},60^{o},45^{o}$ .
a
$a = \cos 60^{o}$ .
b
Phương trình đường thẳng AB là $\dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y - 4}{1} = \dfrac{z}{2}$ .
c
$\beta = 2$ .
d
Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B(x_{B};y_{B};z_{B})$ . Khi đó $x_{B} = 779$ .
Đáp án đúng: $a = \cos 60^{o}$. · Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B(x_{B};y_{B};z_{B})$. Khi đó $x_{B} = 779$.
Phương pháp giải:
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$ , $\left| \overset{\rightarrow}{u} \right| = 1$ , $\overset{\rightarrow}{i} \in (1;0;1)$ .
$\left. \cos(\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{i}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{i}}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{i} \right|} = \dfrac{a}{1.1} = a\Rightarrow a = \cos 60^{o} \right.$ .
b) Sai. $a = \cos 60^{o} = \dfrac{1}{2}$ .
Tương tự ta có $\left. b = \cos 60^{o} = \dfrac{1}{2};c = \cos 45^{o} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u}\left( {\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \right) \right.$ .
$\left. \Rightarrow AB:\dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y - 4}{1} = \dfrac{z}{\sqrt{2}} \right.$ .
c) Sai. $v(t) = \beta t + 300$ , sau 2 giây, hạt đi được quãng đường là:
$\left. S = {\int_{0}^{2}{(\beta t + 300)}}dt = 608\Rightarrow 2\beta + 600 = 608\Rightarrow\beta = 4\text{~(Sai)} \right.$
d) Đúng. Sau 5 giây, hạt đi được quãng đường là:
$AB = {\int_{0}^{5}{(4t + 300)dt}} = 1550$ .
$\left. \overset{\rightarrow}{AB} = k\overset{\rightarrow}{u}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = k.\left| \overset{\rightarrow}{u} \right| = k.\sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = k\Rightarrow k = 1550 \right.$ .
$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {\dfrac{1500}{2};\dfrac{1500}{2};\dfrac{1500}{\sqrt{2}}} \right) \right.$ .
$\left. \Rightarrow x_{B} = \dfrac{1500}{2} + x_{A} = \dfrac{1500}{2} + 4 = 779 \right.$ .
Báo lỗi

Câu này thuộc đềĐề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 - Mã 123