Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, $\left( {- \sqrt{3} \leq x \leq…

Phương pháp giải:

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a \le x \le b)$ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức $V = \int\limits_a^b {S(x)dx}$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích của mặt cắt hình vuông là $S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} } \right)^2} = 3 - {x^2}$.

Thể tích của vật thể đã cho là:

$V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right)dx}$

$= \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3$.