Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}}…

Phương pháp giải:

Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = {x^2} + x + 1 - x + 1 = {x^2} + 2\end{array}$

Ta có ${x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2\forall x$ hay $A \ge 2$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy $MinA = 0$ khi $x = 0$.