Gọi $V$ là thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 1$ , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng…

Phương pháp giải:

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a \le x \le b)$ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức $V = \int\limits_a^b {S(x)dx}$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác đều cạnh $x\sqrt {8 - {x^2}}$ có diện tích là $\frac{{\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)\sqrt 3 }}{4}$.

Thể tích vật thể là:

$V = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)\sqrt 3 }}{4}dx} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_0^1 {\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)dx} = \frac{{37\sqrt 3 }}{{60}}$.