Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3$ là

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức về dạng: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m$ rồi đánh giá: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m$

Dấu = xảy ra khi ${\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $m$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\\ = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\end{array}$

Ta thấy ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 4 + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 1 + 4\\ \Rightarrow T \ge 5\end{array}$

Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là $5$ khi $x = - 2$