Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống $\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x -…

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}$ ($M$ là một đa thức khác đa thức 0)

- Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}$ ($N$ là một nhân tử chung)

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{x^2} + 8x + 15 = {x^2} + 5x + 3x + 15 = x\left( {x + 5} \right) + 3\left( {x + 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\\ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{x + 5}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{5}{{x - 3}}\end{array}$

Mẫu thức chung của hai phân thức sau khi rút gọn là $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)$

Nhân tử phụ của phân thức $\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}}$ là $x - 3$

$\Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{1}{{x + 5}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}$

Nhân tử phụ của phân thức $\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}}$ là $x + 5$

$\Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{5}{{x - 3}} = \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{5x + 25}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}$

Vậy các đa thức cần tìm lần lượt là: $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25$